Trigonometrie Beispiele

$11 = 5 + 4 \sin (\frac{π}{12}) (x + 10)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $5 + 4 \sin (\frac{π}{12}) (x + 10) = 11$ um.

$5 + 4 \sin (\frac{π}{12}) (x + 10) = 11$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$5 + 4 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$5 + 4 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.7.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 + 4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 + 4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 + (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.3

Multipliziere $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (x + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 + \sqrt{6} (x + 10) - \sqrt{2} (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 + \sqrt{6} x + \sqrt{6} \cdot 10 - \sqrt{2} (x + 10) = 11$

Schritt 2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 + \sqrt{6} x + \sqrt{6} \cdot 10 - \sqrt{2} x - \sqrt{2} \cdot 10 = 11$

Schritt 2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\sqrt{6}$ .

$5 + \sqrt{6} x + 10 \cdot \sqrt{6} - \sqrt{2} x - \sqrt{2} \cdot 10 = 11$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$5 + \sqrt{6} x + 10 \sqrt{6} - \sqrt{2} x - 10 \sqrt{2} = 11$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{6} x + 10 \sqrt{6} - \sqrt{2} x - 10 \sqrt{2} = 11 - 5$

Schritt 3.2

Subtrahiere $10 \sqrt{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{6} x - \sqrt{2} x - 10 \sqrt{2} = 11 - 5 - 10 \sqrt{6}$

Schritt 3.3

Addiere $10 \sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{6} x - \sqrt{2} x = 11 - 5 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $5$ von $11$ .

$\sqrt{6} x - \sqrt{2} x = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

Schritt 4

Faktorisiere $x$ aus $\sqrt{6} x - \sqrt{2} x$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $\sqrt{6} x$ heraus.

$x \sqrt{6} - \sqrt{2} x = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x$ aus $- \sqrt{2} x$ heraus.

$x \sqrt{6} + x (- \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \sqrt{6} + x (- \sqrt{2})$ heraus.

$x (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $x (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$ durch $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$ durch $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$\frac{x (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{- 10 \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{- 10 \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{- 10 \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$x = \frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $\frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$x = \frac{(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$x = \frac{(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache.

$x = \frac{(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$ und $4$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ heraus.

$x = \frac{2 ((3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{4}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 ((3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 (2)}$

Schritt 5.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 ((3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{(3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{(3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

Dezimalform:

$x = - 4.20444504 \dots$