Trigonometrie Beispiele

$\cos (x) = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{7}}{6})}^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache $\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{7}}{6})}^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{7}}{6}$ an.

$\cos (x) = \sqrt{1 - \frac{{\sqrt{7}}^{2}}{6^{2}}}$

Schritt 1.2

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \sqrt{1 - \frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Schritt 1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \sqrt{1 - \frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \sqrt{1 - \frac{7^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \sqrt{1 - \frac{7^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Schritt 1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \sqrt{1 - \frac{7^{1}}{6^{2}}}$

Schritt 1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \sqrt{1 - \frac{7}{6^{2}}}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\cos (x) = \sqrt{1 - \frac{7}{36}}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\cos (x) = \sqrt{\frac{36}{36} - \frac{7}{36}}$

Schritt 1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (x) = \sqrt{\frac{36 - 7}{36}}$

Schritt 1.3.4

Subtrahiere $7$ von $36$ .

$\cos (x) = \sqrt{\frac{29}{36}}$

Schritt 1.4

Schreibe $\sqrt{\frac{29}{36}}$ als $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{36}}$ um.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{36}}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{6^{2}}}$

Schritt 1.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{29}}{6}$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{29}}{6})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Berechne $\arccos (\frac{\sqrt{29}}{6})$ .

$x = 0.45666638$

Schritt 4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 0.45666638$

Schritt 5

Vereinfache $2 (3.14159265) - 0.45666638$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.45666638$

Schritt 5.2

Subtrahiere $0.45666638$ von $6.2831853$ .

$x = 5.82651892$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.45666638 + 2 π n, 5.82651892 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$