Trigonometrie Beispiele

$\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.1

Stelle $\cos (x)$ und $\tan (x)$ um.

$\tan (x) \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\cos (x) \tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Schritt 1.1.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 5

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 5.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 9

Vereinfache $\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1$ .

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Schritt 9.1

Bewege $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

Schritt 9.2

Stelle $\sin^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 9.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 9.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 9.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 9.6

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 9.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\cos (x)$ .

$- u^{2} + u = 0$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2} + u$ heraus.

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Schritt 10.1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u (- u) + u = 0$

Schritt 10.1.2.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u (- u) + u = 0$

Schritt 10.1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

Schritt 10.1.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u (- u) + u \cdot 1$ heraus.

$u (- u + 1) = 0$

Schritt 10.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 10.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 10.3

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 10.3.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 10.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 10.3.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 10.3.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 10.3.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 10.3.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.3.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 10.3.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 10.3.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 10.3.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.3.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 10.3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.3.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10.4

Setze $- \cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.1

Setze $- \cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 10.4.2

Löse $- \cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = - 1$

Schritt 10.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Schritt 10.4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 10.4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 10.4.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 10.4.2.6

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 10.4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 10.4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 11.1

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11.2

Führe $2 π n$ und $2 π + 2 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 12

Schließe die Lösungen aus, die $\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$ nicht erfüllen.

$x = 1.57079632, 4.71238898, 6.2831853, 7.85398163, 10.99557428, 12.56637061, 14.13716694, 17.27875959, 18.84955592, 20.42035224, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ , für jede Ganzzahl $n$