Trigonometrie Beispiele

$\csc (x) - 1 = \frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1}$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1} + 1 = \csc (x)$

Schritt 2

Ersetze die $\cot^{2} (x)$ durch $\csc^{2} (x) - 1$ basierend auf der $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\csc^{2} (x) - 1) + 1 = \csc (x)$

Schritt 3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\csc^{2} (x) - 1 + 1$ .

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Schritt 3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\csc^{2} (x) + 0 = \csc (x)$

Schritt 3.2

Addiere $\csc^{2} (x)$ und $0$ .

$\csc^{2} (x) = \csc (x)$

Schritt 4

Ersetze $\csc (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} = u$

Schritt 5

Subtrahiere $u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - u = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - u$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - u = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 1$ heraus.

$u (u - 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 8

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 9

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 1$

Schritt 11

Ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$\csc (x) = 0, 1$

Schritt 12

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\csc (x) = 0$

$\csc (x) = 1$

Schritt 13

Löse in $\csc (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Der Wertebereich des Kosekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 14

Löse in $\csc (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (1)$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.1

Der genau Wert von $arccsc (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 14.3

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 14.4

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 14.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 14.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 14.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 14.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 14.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14.6

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 15

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$