Trigonometrie Beispiele

$\csc (x) \cdot \sec (x) = \cot (x) + \tan (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\csc (x) \cdot \sec (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \cot (x) + \tan (x)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \cot (x) + \tan (x)$

Schritt 1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \cot (x) + \tan (x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x)$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x) (\cos (x))} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7

Multipliziere $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 7.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 9

Vereinfache $\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \cos (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 9.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- \cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- \cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} = 0$

Schritt 9.3.2.4

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$- \cos (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 9.4

Addiere $- \cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 10

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$