Trigonometrie Beispiele

$\cot (x) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $1 - \cos (2 x)$ .

$\cot (x) (1 - \cos (2 x)) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\cot (x) (1 - \cos (2 x))$ .

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (2 x)) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (2 x)) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (2 x)) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (2 x) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.2.3

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.3.1

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\cot (x) - \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.3.2

Separiere Brüche.

$\cot (x) - (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.3.3

Schreibe $\frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$\cot (x) - (\frac{\cos (x)}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\sin (x)})) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.3.4

Schreibe $\cos (2 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\cot (x) - (\frac{\cos (x)}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.3.5.1

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$\cot (x) - (\frac{\cos (x)}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\sin (x)})) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.3.5.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\cot (x) - (\frac{\cos (x)}{1} (\cos (2 x) \csc (x))) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.1.1.3.6

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cot (x) - \cos (x) \cos (2 x) \csc (x) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \cos (2 x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) - \cos (x) \cos (2 x) \csc (x) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) - \cos (x) \cos (2 x) \csc (x) = \sin (2 x)$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \cos (2 x) \csc (x) = \sin (2 x)$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \cos (2 x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (2 x)$

Schritt 3.1.1.3

Multipliziere $- \cos (x) \cos (2 x) \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (2 x) = \sin (2 x)$

Schritt 3.1.1.3.2

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (2 x)$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos (x) - \sin (x) \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) - (\cos (2 x) \cos (x)) = \sin (x) \sin (2 x)$

$\cos (x) - \cos (2 x) \cos (x) = \sin (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.7

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$\cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) \cos (x) = \sin (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.8

Subtrahiere $\sin (x) \sin (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Schritt 3.9

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.1

Vereinfache $\cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x)$ .

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Schritt 3.9.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.9.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) + (- 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x))) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Schritt 3.9.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\cos (x) + (- 1 - (- 2 \sin^{2} (x))) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Schritt 3.9.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\cos (x) + (- 1 + 2 \sin^{2} (x)) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Schritt 3.9.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) - 1 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Schritt 3.9.1.1.5

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Schritt 3.9.1.1.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Schritt 3.9.1.1.7

Multipliziere $- \sin (x) (2 \sin (x) \cos (x))$ .

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Schritt 3.9.1.1.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \sin (x) (\sin (x) \cos (x)) = 0$

Schritt 3.9.1.1.7.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) = 0$

Schritt 3.9.1.1.7.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) = 0$

Schritt 3.9.1.1.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) = 0$

Schritt 3.9.1.1.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Schritt 3.9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

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Schritt 3.9.1.2.1

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Schritt 3.9.1.2.2

Subtrahiere $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ von $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$0 + 0 = 0$

Schritt 3.9.1.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$0 = 0$

Schritt 3.10

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$