Trigonometrie Beispiele

$\log_{4} (2 x + 3 y) = \log_{4} (2 x) + \log_{4} (3 y)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\log_{4} (2 x) + \log_{4} (3 y)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (2 x + 3 y) = \log_{4} (2 x (3 y))$

Schritt 1.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log_{4} (2 x + 3 y) = \log_{4} (2 \cdot 3 x y)$

Schritt 1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\log_{4} (2 x + 3 y) = \log_{4} (6 x y)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$2 x + 3 y = 6 x y$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $6 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + 3 y - 6 x y = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 6 x y = - 3 y$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x - 6 x y$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$2 x (1) - 6 x y = - 3 y$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x y$ heraus.

$2 x (1) + 2 x (- 3 y) = - 3 y$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (1) + 2 x (- 3 y)$ heraus.

$2 x (1 - 3 y) = - 3 y$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x (1 - 3 y) = - 3 y$ durch $2 (1 - 3 y)$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x (1 - 3 y) = - 3 y$ durch $2 (1 - 3 y)$ .

$\frac{2 x (1 - 3 y)}{2 (1 - 3 y)} = \frac{- 3 y}{2 (1 - 3 y)}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (1 - 3 y)}{2 (1 - 3 y)} = \frac{- 3 y}{2 (1 - 3 y)}$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (1 - 3 y)}{1 - 3 y} = \frac{- 3 y}{2 (1 - 3 y)}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 3 y$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - 3 y)}{1 - 3 y} = \frac{- 3 y}{2 (1 - 3 y)}$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3 y}{2 (1 - 3 y)}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 y}{2 (1 - 3 y)}$