Trigonometrie Beispiele

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = \cos (2 x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $\cos^{4} (x)$ als ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\cos^{2} (x))}^{2} - \sin^{4} (x) = \cos (2 x)$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\sin^{4} (x)$ als ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\cos^{2} (x))}^{2} - {(\sin^{2} (x))}^{2} = \cos (2 x)$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos^{2} (x)$ und $b = \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \cos (2 x)$

Schritt 1.1.3

Ordne Terme um.

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \cos (2 x)$

Schritt 1.1.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \cos (2 x)$

Schritt 1.1.5

Mutltipliziere $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos (2 x)$

Schritt 1.1.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 x) = \cos (2 x)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $\cos (2 x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\cos (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\cos (2 x)$ von $\cos (2 x)$ .

$0 = 0$

Schritt 3

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$