Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{1}{1 - \sin (x)}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{1 - \sin (y)}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ um.

$\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1 - \sin (y), 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$1 - \sin (y), 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$1 - \sin (y)$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ mit $1 - \sin (y)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ mit $1 - \sin (y)$ .

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \sin (y)$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x (1 - \sin (y))$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = x \cdot 1 + x (- \sin (y))$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 = x + x (- \sin (y))$

Schritt 2.3.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = x - x \sin (y)$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $x - x \sin (y) = 1$ um.

$x - x \sin (y) = 1$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \sin (y) = 1 - x$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- x \sin (y) = 1 - x$ durch $- x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \sin (y) = 1 - x$ durch $- x$ .

$\frac{- x \sin (y)}{- x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.2.2.2

Dividiere $\sin (y)$ durch $1$ .

$\sin (y) = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.4.3.3.1.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\sin (y) = \frac{- 1 (- 1)}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.3.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 2.4.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 2.4.3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + 1$

Schritt 2.5

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- \frac{1}{\frac{1}{1 - \sin (x)}} + 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 (1 - \sin (x))) + 1)$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $1 - \sin (x)$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 - \sin (x)) + 1)$

Schritt 4.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 \cdot 1 + \sin (x) + 1)$

Schritt 4.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

Schritt 4.2.3.5

Multipliziere $- - \sin (x)$ .

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Schritt 4.2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + 1 \sin (x) + 1)$

Schritt 4.2.3.5.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 + \sin (x) + 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (0 + \sin (x))$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - \sin (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.1

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{x} + 1)}$

Schritt 4.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.3

Multipliziere $- - \frac{1}{x}$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{x}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1}$

Schritt 4.3.3.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Schritt 4.3.3.6

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = 1 x$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$