Trigonometrie Beispiele

$x = y^{2} - 8 y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $y^{2} - 8 y = x$ um.

$y^{2} - 8 y = x$

Schritt 2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 8 y - x = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $64 + 4 x$ heraus.

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 16 + 4 x$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $4 (16 + x)$ als $2^{2} (4^{2} + x)$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $64 + 4 x$ heraus.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 16 + 4 x$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $4 (16 + x)$ als $2^{2} (4^{2} + x)$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $4$ aus $64 + 4 x$ heraus.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 16 + 4 x$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $4 (16 + x)$ als $2^{2} (4^{2} + x)$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

Schritt 9

Tausche die Variablen aus. Erstelle für jeden Ausdruck eine Gleichung.

$x = 4 + \sqrt{16 + y}, x = 4 - \sqrt{16 + y}$

Schritt 10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $4 + \sqrt{16 + y} = x$ um.

$4 + \sqrt{16 + y} = x$

Schritt 10.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{16 + y} = x - 4$

Schritt 10.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{16 + y}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 10.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 10.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 + y}$ als ${(16 + y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.2.1

Vereinfache ${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(16 + y)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.2

Vereinfache.

$16 + y = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.3.1

Vereinfache ${(x - 4)}^{2}$ .

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Schritt 10.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$16 + y = (x - 4) (x - 4)$

Schritt 10.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 + y = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

Schritt 10.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

Schritt 10.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Schritt 10.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$16 + y = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Schritt 10.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$16 + y = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

Schritt 10.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$16 + y = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

Schritt 10.4.3.1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$16 + y = x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 10.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.5.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 8 x + 16 - 16$

Schritt 10.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 8 x + 16 - 16$ .

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Schritt 10.5.2.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$y = x^{2} - 8 x + 0$

Schritt 10.5.2.2

Addiere $x^{2} - 8 x$ und $0$ .

$y = x^{2} - 8 x$

Schritt 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

Schritt 12

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ ist.

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Schritt 12.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ und $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ und vergleiche sie.

Schritt 12.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ .

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Schritt 12.2.1

Finde den Wertebereich von $4 + \sqrt{16 + x}$ .

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Schritt 12.2.1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[4, \infty)$

Schritt 12.2.2

Finde den Wertebereich von $4 - \sqrt{16 + x}$ .

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Schritt 12.2.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 4]$

Schritt 12.2.3

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Schritt 12.2.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 12.3

Bestimme den Definitionsbereich von $4 + \sqrt{16 + x}$ .

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Schritt 12.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{16 + x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$16 + x \geq 0$

Schritt 12.3.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 16$

Schritt 12.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 16, \infty)$

Schritt 12.4

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ der Wertebereich von $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ der Definitionsbereich von $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ die inverse Funktion von $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

Schritt 13