Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 12 - 6 x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 12 - 6 x$ als Gleichung.

$y = 12 - 6 x$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 12 - 6 y$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $12 - 6 y = x$ um.

$12 - 6 y = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 y = x - 12$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 6 y = x - 12$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 y = x - 12$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{x}{- 6} + \frac{- 12}{- 6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{x}{- 6} + \frac{- 12}{- 6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{- 6} + \frac{- 12}{- 6}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 12}{- 6}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividiere $- 12$ durch $- 6$ .

$y = - \frac{x}{6} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{6} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{6} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 12 - 6 x$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (12 - 6 x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - \frac{12 - 6 x}{6} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 - 6 x$ und $6$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - \frac{6 \cdot 2 - 6 x}{6} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x$ heraus.

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - \frac{6 \cdot 2 + 6 (- x)}{6} + 2$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (- x)$ heraus.

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - \frac{6 (2 - x)}{6} + 2$

Schritt 5.2.3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - \frac{6 (2 - x)}{6 (1)} + 2$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - \frac{6 (2 - x)}{6 \cdot 1} + 2$

Schritt 5.2.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - \frac{2 - x}{1} + 2$

Schritt 5.2.3.1.4.4

Dividiere $2 - x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - (2 - x) + 2$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - 2 + x + 2$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - 2 + 1 x + 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (12 - 6 x) = - 2 + x + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 + x + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (12 - 6 x) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (12 - 6 x) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{x}{6} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x}{6} + 2) = 12 - 6 (- \frac{x}{6} + 2)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{x}{6} + 2) = 12 - 6 (- \frac{x}{6}) - 6 \cdot 2$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{6}$ in den Zähler.

$f (- \frac{x}{6} + 2) = 12 - 6 \frac{- x}{6} - 6 \cdot 2$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$f (- \frac{x}{6} + 2) = 12 + 6 (- 1) (\frac{- x}{6}) - 6 \cdot 2$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x}{6} + 2) = 12 + 6 \cdot (- 1 \frac{- x}{6}) - 6 \cdot 2$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x}{6} + 2) = 12 - 1 (- x) - 6 \cdot 2$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{x}{6} + 2) = 12 + 1 x - 6 \cdot 2$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{x}{6} + 2) = 12 + x - 6 \cdot 2$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f (- \frac{x}{6} + 2) = 12 + x - 12$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $12 + x - 12$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$f (- \frac{x}{6} + 2) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{x}{6} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{6} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 12 - 6 x$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{6} + 2$