Trigonometrie Beispiele

Ermittle die Umkehrfunktion f(x)=(3e^x-8)/(20e^x+15)
Schritt 1
Schreibe als Gleichung.
Schritt 2
Vertausche die Variablen.
Schritt 3
Löse nach auf.
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Schritt 3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.2
Multipliziere beide Seiten mit .
Schritt 3.3
Vereinfache.
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Schritt 3.3.1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.3.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.3.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.3.2.1
Vereinfache .
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Schritt 3.3.2.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.3.2.1.2
Stelle um.
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Schritt 3.3.2.1.2.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 3.3.2.1.2.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3.4
Löse nach auf.
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Schritt 3.4.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.4.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.4.3
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 3.4.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.4.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.4.3.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.4.4
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.4.4.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.4.4.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.4.4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.4.4.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.4.4.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.4.4.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.4.4.3.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.4.5
Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.
Schritt 3.4.6
Multipliziere die linke Seite aus.
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Schritt 3.4.6.1
Zerlege durch Herausziehen von aus dem Logarithmus.
Schritt 3.4.6.2
Der natürliche Logarithmus von ist .
Schritt 3.4.6.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4
Ersetze durch , um die endgültige Lösung anzuzeigen.
Schritt 5
Überprüfe, ob die Umkehrfunktion von ist.
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Schritt 5.1
Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob ist und ist.
Schritt 5.2
Berechne .
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Schritt 5.2.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 5.2.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 5.2.3
Vereinfache durch Herausfaktorisieren.
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Schritt 5.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 5.2.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.3.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.3.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.3.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.3.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.4
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 5.2.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.2.4.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.4.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.4.1.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.2.4.2
Kombiniere und .
Schritt 5.2.4.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 5.2.4.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 5.2.4.5
Stelle die Terme um.
Schritt 5.2.4.6
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
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Schritt 5.2.4.6.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.2.4.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.4.6.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.4.6.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.2.4.6.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.4.6.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.4.6.7
Addiere und .
Schritt 5.2.4.6.8
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.4.6.9
Addiere und .
Schritt 5.2.5
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 5.2.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.2.5.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.5.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.5.1.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.2.5.2
Kombiniere und .
Schritt 5.2.5.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 5.2.5.4
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 5.2.5.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 5.2.5.6
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
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Schritt 5.2.5.6.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.2.5.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.5.6.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.5.6.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.2.5.6.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.5.6.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.5.6.7
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.5.6.8
Addiere und .
Schritt 5.2.5.6.9
Addiere und .
Schritt 5.2.6
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 5.2.7
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.7.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.7.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.2.8
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.8.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.8.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.2.9
Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um aus dem Exponenten zu ziehen.
Schritt 5.2.10
Der natürliche Logarithmus von ist .
Schritt 5.2.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 5.3.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 5.3.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.3.1
Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.
Schritt 5.3.3.2
Kombiniere und .
Schritt 5.3.3.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 5.3.3.4
Kombiniere und .
Schritt 5.3.3.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 5.3.3.6
Stelle die Terme um.
Schritt 5.3.3.7
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.3.7.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.3.7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.3.7.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.3.7.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.3.7.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.3.7.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.3.7.7
Addiere und .
Schritt 5.3.3.7.8
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.3.7.9
Addiere und .
Schritt 5.3.4
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.4.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3.4.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3.4.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3.4.2
Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.
Schritt 5.3.4.3
Kombiniere und .
Schritt 5.3.4.4
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 5.3.4.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 5.3.4.6
Stelle die Terme um.
Schritt 5.3.4.7
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.4.7.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.4.7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.4.7.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.4.7.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.4.7.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.4.7.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.4.7.7
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.4.7.8
Addiere und .
Schritt 5.3.4.7.9
Addiere und .
Schritt 5.3.5
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.5.1
Kombiniere und .
Schritt 5.3.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.6
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 5.3.7
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3.7.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.7.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.9
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.9.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.9.2
Dividiere durch .
Schritt 5.4
Da und gleich sind, ist die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von .