Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{5 y^{2}} - 10 y + 52$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{5 y^{2}} - 10 y + 52 = x$ um.

$\sqrt{5 y^{2}} - 10 y + 52 = x$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{5 y^{2}}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Addiere $10 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{5 y^{2}} + 52 = x + 10 y$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $52$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{5 y^{2}} = x + 10 y - 52$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{5 y^{2}}}^{2} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 y^{2}}$ als ${(5 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(5 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 y^{2})}^{1} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$5 y^{2} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(x + 10 y - 52)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Schreibe ${(x + 10 y - 52)}^{2}$ als $(x + 10 y - 52) (x + 10 y - 52)$ um.

$5 y^{2} = (x + 10 y - 52) (x + 10 y - 52)$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere $(x + 10 y - 52) (x + 10 y - 52)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$5 y^{2} = x \cdot x + x (10 y) + x \cdot - 52 + 10 y x + 10 y (10 y) + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Schritt 2.4.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 y^{2} = x^{2} + x (10 y) + x \cdot - 52 + 10 y x + 10 y (10 y) + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Schritt 2.4.3.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y + x \cdot - 52 + 10 y x + 10 y (10 y) + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Schritt 2.4.3.1.3.3

Bringe $- 52$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 \cdot x + 10 y x + 10 y (10 y) + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Schritt 2.4.3.1.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 10 \cdot 10 y \cdot y + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Schritt 2.4.3.1.3.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.3.1.3.5.1

Bewege $y$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 10 \cdot 10 (y \cdot y) + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Schritt 2.4.3.1.3.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 10 \cdot 10 y^{2} + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Schritt 2.4.3.1.3.6

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 100 y^{2} + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Schritt 2.4.3.1.3.7

Mutltipliziere $- 52$ mit $10$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 100 y^{2} - 520 y - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Schritt 2.4.3.1.3.8

Mutltipliziere $10$ mit $- 52$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 100 y^{2} - 520 y - 52 x - 520 y - 52 \cdot - 52$

Schritt 2.4.3.1.3.9

Mutltipliziere $- 52$ mit $- 52$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 100 y^{2} - 520 y - 52 x - 520 y + 2704$

Schritt 2.4.3.1.4

Addiere $10 x y$ und $10 y x$ .

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Schritt 2.4.3.1.4.1

Bewege $y$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y + 10 x y - 52 x + 100 y^{2} - 520 y - 52 x - 520 y + 2704$

Schritt 2.4.3.1.4.2

Addiere $10 x y$ und $10 x y$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 20 x y - 52 x + 100 y^{2} - 520 y - 52 x - 520 y + 2704$

Schritt 2.4.3.1.5

Subtrahiere $52 x$ von $- 52 x$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 20 x y - 104 x + 100 y^{2} - 520 y - 520 y + 2704$

Schritt 2.4.3.1.6

Subtrahiere $520 y$ von $- 520 y$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 20 x y - 104 x + 100 y^{2} - 1040 y + 2704$

Schritt 2.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 20 x y - 104 x + 100 y^{2} - 1040 y + 2704 = 5 y^{2}$

Schritt 2.5.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $5 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 20 x y - 104 x + 100 y^{2} - 1040 y + 2704 - 5 y^{2} = 0$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $5 y^{2}$ von $100 y^{2}$ .

$x^{2} + 20 x y - 104 x + 95 y^{2} - 1040 y + 2704 = 0$

Schritt 2.5.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.4

Setze die Werte $a = 95$ , $b = 20 x - 1040$ und $c = x^{2} - 104 x + 2704$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (20 x - 1040) \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (20 x) + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5

Es sei $u = 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ . Ersetze $u$ für alle $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ .

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Schritt 2.5.5.1.5.1

Schreibe ${(20 x - 1040)}^{2}$ als $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{(20 x - 1040) (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5.2

Multipliziere $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.5.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x - 1040) - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.5.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.5.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x \cdot x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.5.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (x \cdot x)) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x^{2}) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $20$ mit $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 1040$ mit $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $20$ mit $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 1040$ mit $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.5.3.2

Subtrahiere $20800 x$ von $- 20800 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.6

Faktorisiere $4$ aus $400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u$ heraus.

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Schritt 2.5.5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $400 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 41600 x$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $1081600$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.7

Ersetze alle $u$ durch $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.5.5.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.5.1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} + 95 (- 104 x) + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.8.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.5.5.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 104$ mit $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $95$ mit $2704$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 256880))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2}) - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.8.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.5.5.1.8.1.4.1

Mutltipliziere $95$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.8.1.4.2

Mutltipliziere $- 9880$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.8.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $256880$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.8.2

Subtrahiere $95 x^{2}$ von $100 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 10400 x + 270400 + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.8.3

Addiere $- 10400 x$ und $9880 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 270400 - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.8.4

Subtrahiere $256880$ von $270400$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.9

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} - 520 x + 13520$ heraus.

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Schritt 2.5.5.1.9.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.9.2

Faktorisiere $5$ aus $- 520 x$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) + 5 (- 104 x) + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.9.3

Faktorisiere $5$ aus $13520$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} + 5 (- 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.9.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 5 (- 104 x)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.9.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.5.5.1.10.1

Schreibe $2704$ als $52^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.10.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$104 x = 2 \cdot x \cdot 52$

Schritt 2.5.5.1.10.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 52 + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.10.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.11

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.12

Schreibe $20 {(x - 52)}^{2}$ als ${(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.5.1.12.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5) {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.12.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.12.3

Bewege $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} {(x - 52)}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.12.4

Schreibe $2^{2} {(x - 52)}^{2}$ als ${(2 (x - 52))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm 2 (x - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x + 2 \cdot - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x - 104) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (20 x) + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5

Es sei $u = 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ . Ersetze $u$ für alle $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ .

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Schritt 2.5.6.1.5.1

Schreibe ${(20 x - 1040)}^{2}$ als $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{(20 x - 1040) (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5.2

Multipliziere $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.6.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x - 1040) - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.6.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.6.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x \cdot x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.6.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (x \cdot x)) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x^{2}) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $20$ mit $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 1040$ mit $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $20$ mit $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 1040$ mit $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.5.3.2

Subtrahiere $20800 x$ von $- 20800 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u$ heraus.

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Schritt 2.5.6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $400 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 41600 x$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $1081600$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.7

Ersetze alle $u$ durch $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.6.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.6.1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} + 95 (- 104 x) + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.8.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.6.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 104$ mit $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $95$ mit $2704$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 256880))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2}) - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.8.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.6.1.8.1.4.1

Mutltipliziere $95$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.8.1.4.2

Mutltipliziere $- 9880$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.8.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $256880$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.8.2

Subtrahiere $95 x^{2}$ von $100 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 10400 x + 270400 + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.8.3

Addiere $- 10400 x$ und $9880 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 270400 - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.8.4

Subtrahiere $256880$ von $270400$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.9

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} - 520 x + 13520$ heraus.

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Schritt 2.5.6.1.9.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.9.2

Faktorisiere $5$ aus $- 520 x$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) + 5 (- 104 x) + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.9.3

Faktorisiere $5$ aus $13520$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} + 5 (- 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.9.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 5 (- 104 x)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.9.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.5.6.1.10.1

Schreibe $2704$ als $52^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.10.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$104 x = 2 \cdot x \cdot 52$

Schritt 2.5.6.1.10.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 52 + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.10.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.11

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.12

Schreibe $20 {(x - 52)}^{2}$ als ${(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.5.6.1.12.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5) {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.12.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.12.3

Bewege $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} {(x - 52)}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.12.4

Schreibe $2^{2} {(x - 52)}^{2}$ als ${(2 (x - 52))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm 2 (x - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x + 2 \cdot - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x - 104) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5}}{190}$

Schritt 2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20 x + 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5}$ und $190$ .

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Schritt 2.5.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 20 x$ heraus.

$y = \frac{2 (- 10 x) + 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5}}{190}$

Schritt 2.5.6.4.2

Faktorisiere $2$ aus $1040$ heraus.

$y = \frac{2 (- 10 x) + 2 \cdot 520 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5}}{190}$

Schritt 2.5.6.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 10 x) + 2 (520)$ heraus.

$y = \frac{2 (- 10 x + 520) + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5}}{190}$

Schritt 2.5.6.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x \sqrt{5}$ heraus.

$y = \frac{2 (- 10 x + 520) + 2 (x \sqrt{5}) - 104 \sqrt{5}}{190}$

Schritt 2.5.6.4.5

Faktorisiere $2$ aus $- 104 \sqrt{5}$ heraus.

$y = \frac{2 (- 10 x + 520) + 2 (x \sqrt{5}) + 2 (- 52 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.6.4.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (x \sqrt{5}) + 2 (- 52 \sqrt{5})$ heraus.

$y = \frac{2 (- 10 x + 520) + 2 (x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.6.4.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 10 x + 520) + 2 (x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})$ heraus.

$y = \frac{2 (- 10 x + 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.6.4.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.6.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $190$ heraus.

$y = \frac{2 (- 10 x + 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})}{2 (95)}$

Schritt 2.5.6.4.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (- 10 x + 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.6.4.8.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 10 x + 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5}}{95}$

Schritt 2.5.6.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

Schritt 2.5.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (20 x) + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5

Es sei $u = 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ . Ersetze $u$ für alle $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ .

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Schritt 2.5.7.1.5.1

Schreibe ${(20 x - 1040)}^{2}$ als $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{(20 x - 1040) (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5.2

Multipliziere $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.7.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x - 1040) - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.7.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.7.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x \cdot x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.7.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (x \cdot x)) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x^{2}) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $20$ mit $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 1040$ mit $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $20$ mit $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 1040$ mit $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.5.3.2

Subtrahiere $20800 x$ von $- 20800 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.6

Faktorisiere $4$ aus $400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u$ heraus.

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Schritt 2.5.7.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $400 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 41600 x$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $1081600$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - u)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.7

Ersetze alle $u$ durch $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.5.7.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.7.1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} + 95 (- 104 x) + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.8.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.5.7.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 104$ mit $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $95$ mit $2704$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 256880))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2}) - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.8.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.5.7.1.8.1.4.1

Mutltipliziere $95$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.8.1.4.2

Mutltipliziere $- 9880$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.8.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $256880$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.8.2

Subtrahiere $95 x^{2}$ von $100 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 10400 x + 270400 + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.8.3

Addiere $- 10400 x$ und $9880 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 270400 - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.8.4

Subtrahiere $256880$ von $270400$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.9

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} - 520 x + 13520$ heraus.

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Schritt 2.5.7.1.9.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.9.2

Faktorisiere $5$ aus $- 520 x$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) + 5 (- 104 x) + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.9.3

Faktorisiere $5$ aus $13520$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} + 5 (- 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.9.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 5 (- 104 x)$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.9.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.5.7.1.10.1

Schreibe $2704$ als $52^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.10.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$104 x = 2 \cdot x \cdot 52$

Schritt 2.5.7.1.10.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 52 + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.10.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.11

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.12

Schreibe $20 {(x - 52)}^{2}$ als ${(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.5.7.1.12.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5) {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.12.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.12.3

Bewege $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} {(x - 52)}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.12.4

Schreibe $2^{2} {(x - 52)}^{2}$ als ${(2 (x - 52))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm 2 (x - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x + 2 \cdot - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x - 104) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20 x + 1040 - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})$ und $190$ .

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Schritt 2.5.7.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 20 x$ heraus.

$y = \frac{- (20 x) + 1040 - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.7.4.2

Schreibe $1040$ als $- 1 (- 1040)$ um.

$y = \frac{- (20 x) - 1 \cdot - 1040 - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.7.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (20 x) - 1 (- 1040)$ heraus.

$y = \frac{- (20 x - 1040) - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.7.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (20 x - 1040) - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})$ heraus.

$y = \frac{- (20 x - 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.7.4.5

Schreibe $- (20 x - 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})$ als $- 1 (20 x - 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})$ um.

$y = \frac{- 1 (20 x - 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 2.5.7.4.6

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (20 x - 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})$ heraus.

$y = \frac{2 (- 1 (10 x - 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5}))}{190}$

Schritt 2.5.7.4.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.7.4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $190$ heraus.

$y = \frac{2 (- 1 (10 x - 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5}))}{2 (95)}$

Schritt 2.5.7.4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (- 1 (10 x - 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5}))}{2 \cdot 95}$

Schritt 2.5.7.4.7.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1 (10 x - 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})}{95}$

Schritt 2.5.7.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{- 1 (x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5})}{95}$

Schritt 2.5.7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

Schritt 2.5.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

$y = - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

$y = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

$y = - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

$y = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

$y = - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ und $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.4

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ der Wertebereich von $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ die inverse Funktion von $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

Schritt 5