Trigonometrie Beispiele

$\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\csc (x) = 0$

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Setze $\csc (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $\csc (x)$ gleich $0$ .

$\csc (x) = 0$

Schritt 2.2

Der Wertebereich des Kosekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 3

Setze $3 \cot^{2} (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 \cot^{2} (x) - 1$ gleich $0$ .

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \cot^{2} (x) = 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \cot^{2} (x) = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cot^{2} (x) = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\cot^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.7

Löse in $\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.7.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 3.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.7.2.1

Der genau Wert von $arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.7.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.7.4

Vereinfache $π + \frac{π}{3}$ .

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Schritt 3.2.7.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.7.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.7.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 3.2.7.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.7.4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 3.2.7.4.3.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 3.2.7.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 3.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.7.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.7.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2.8

Löse in $\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.8.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 3.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.8.2.1

Der genau Wert von $arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.2.8.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

Schritt 3.2.8.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.8.4.1

Addiere $2 π$ zu $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

Schritt 3.2.8.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{3}$ ist positiv und gleich $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 3.2.8.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 3.2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.8.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.8.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2.9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2.10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 3.2.10.1

Führe $\frac{π}{3} + π n$ und $\frac{4 π}{3} + π n$ zu $\frac{π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2.10.2

Führe $\frac{2 π}{3} + π n$ und $\frac{5 π}{3} + π n$ zu $\frac{2 π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$