Trigonometrie Beispiele

$\sec (x) (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\sec (x) (\sec (x) - \cos (x))$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.4

Multipliziere $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.1.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\cos (x)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.5.3.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.5.3.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec^{2} (x) - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\tan^{2} (x) = \tan^{2} (x)$

Schritt 2

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| \tan (x) | = | \tan (x) |$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

$- \tan (x) = \tan (x)$

$- \tan (x) = - \tan (x)$

Schritt 3.2

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

Schritt 3.3

Löse $\tan (x) = \tan (x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$x = x$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x = 0$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 = 0$

Schritt 3.3.3

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3.4

Löse $\tan (x) = - \tan (x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Bringe alle Terme, die $\tan (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Addiere $\tan (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) + \tan (x) = 0$

Schritt 3.4.1.2

Addiere $\tan (x)$ und $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) = 0$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 3.4.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4.5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 3.4.6

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 3.4.7

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 3.4.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.4.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.4.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.4.7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.4.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$