Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan^{2} (x) - 1}{2} - \sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{\tan^{2} (x) - 1}{2} - \sec (x) + \sqrt{2}$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\tan^{2} (x) - 1^{2}}{2} - \sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \tan (x)$ und $b = 1$ .

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}{2} - \sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.2

Um $- \sec (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}{2} - \sec (x) \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $- \sec (x)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}{2} + \frac{- \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1) - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1) - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Multipliziere $\tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 1.4.2.1.1.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.2.1.1.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.2.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.2.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.2.1.3

Schreibe $- 1 \tan (x)$ als $- \tan (x)$ um.

$\frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.2.1.4

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $- \tan (x)$ und $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 0 - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.2.3

Addiere $\tan^{2} (x)$ und $0$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - 1 - 2 \sec (x)}{2} + \sqrt{2} = 0$

Schritt 2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3