Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$

Schritt 1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$f (x) = 3 (x^{3}) - 33 x^{2} + 60 x + 96$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 33 x^{2}$ heraus.

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 60 x + 96$

Schritt 1.3

Faktorisiere $3$ aus $60 x$ heraus.

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 96$

Schritt 1.4

Faktorisiere $3$ aus $96$ heraus.

$f (x) = 3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

Schritt 1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2})$ heraus.

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

Schritt 1.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x)$ heraus.

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$

Schritt 1.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$ heraus.

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32)$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Schritt 2.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

Schritt 2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

Schritt 2.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 11 \cdot 1 + 20 \cdot - 1 + 32$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$- 1 - 11 + 20 \cdot - 1 + 32$

Schritt 2.3.5

Subtrahiere $11$ von $- 1$ .

$- 12 + 20 \cdot - 1 + 32$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$- 12 - 20 + 32$

Schritt 2.3.7

Subtrahiere $20$ von $- 12$ .

$- 32 + 32$

Schritt 2.3.8

Addiere $- 32$ und $32$ .

$0$

Schritt 2.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32}{x + 1}$

Schritt 2.5

Dividiere $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$32$

Schritt 2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$

Schritt 2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Schritt 2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

Schritt 2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

Schritt 2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$

Schritt 2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

Schritt 2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $32 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

Schritt 2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							+	$32 x$	+	$32$

Schritt 2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $32 x + 32$

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$

Schritt 2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$
										$0$

Schritt 2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 12 x + 32$

Schritt 2.6

Schreibe $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x^{2} - 12 x + 32))$

Schritt 3

Faktorisiere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $32$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 8, - 4$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = 3 ((x + 1) ((x - 8) (x - 4)))$

Schritt 3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x - 8) (x - 4))$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = 3 (x + 1) (x - 8) (x - 4)$