Trigonometrie Beispiele

$g (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Schritt 3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$3 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 6$

Schritt 3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$3 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 6$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 + 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 6$

Schritt 3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 + 2 \cdot 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 3 + 2 - 7 \cdot - 1 - 6$

Schritt 3.6

Addiere $- 3$ und $2$ .

$- 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$- 1 + 7 - 6$

Schritt 3.8

Addiere $- 1$ und $7$ .

$6 - 6$

Schritt 3.9

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6}{x + 1}$

Schritt 5

Dividiere $3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6$ durch $x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x$

$6$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - x$

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x - 6$

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$3 x^{2} - x - 6$

Schritt 6

Schreibe $3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$g (x) = (x + 1) (3 x^{2} - x - 6)$