Gib eine Aufgabe ein ...
Trigonometrie Beispiele
,
Schritt 1
Schritt 1.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 1.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 1.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.3
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 1.4
Vereinfache .
Schritt 1.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.4.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 1.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 1.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.4.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 1.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.5
Ermittele die Periode von .
Schritt 1.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 1.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 1.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 1.5.4
Dividiere durch .
Schritt 1.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 1.7
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 1.8
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 1.9
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
Schritt 1.9.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.9.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.9.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.9.1.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 1.9.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.9.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.9.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.9.2.3
Die linke Seite ist nicht kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 1.9.3
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Wahr
Falsch
Wahr
Falsch
Schritt 1.10
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 2
Schritt 2.1
Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kotangens herauszuziehen.
Schritt 2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 2.3
Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.
Schritt 2.4
Vereinfache .
Schritt 2.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.4.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 2.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 2.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.4.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 2.4.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.4.3.2
Addiere und .
Schritt 2.5
Ermittele die Periode von .
Schritt 2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 2.7
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 2.8
Bestimme den Definitionsbereich von .
Schritt 2.8.1
Setze das Argument in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
, für jede ganze Zahl
Schritt 2.8.2
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 2.9
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 2.10
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
Schritt 2.10.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.10.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.10.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 2.10.1.3
Die linke Seite ist nicht kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 2.10.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.10.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.10.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 2.10.2.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 2.10.3
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.10.3.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.10.3.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 2.10.3.3
Die linke Seite ist nicht kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 2.10.4
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Falsch
Wahr
Falsch
Falsch
Wahr
Falsch
Schritt 2.11
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 3
Bestimme die Schnittmenge von und .
Keine Lösung