Trigonometrie Beispiele

${(x + 8)}^{2} + 2$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - 8$

$k = 2$

Schritt 1.2

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 8, 2)$

Schritt 1.4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 8, \frac{9}{4})$

Schritt 1.6

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 8$

Schritt 1.7

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.7.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.7.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{7}{4}$

Schritt 1.8

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 8, 2)$

Brennpunkt: $(- 8, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 8$

Leitlinie: $y = \frac{7}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 8, 2)$

Brennpunkt: $(- 8, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 8$

Leitlinie: $y = \frac{7}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 9$ .

$f (- 9) = {(- 9)}^{2} + 16 (- 9) + 66$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$f (- 9) = 81 + 16 (- 9) + 66$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 9$ .

$f (- 9) = 81 - 144 + 66$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $144$ von $81$ .

$f (- 9) = - 63 + 66$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $- 63$ und $66$ .

$f (- 9) = 3$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 9$ ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 10$ .

$f (- 10) = {(- 10)}^{2} + 16 (- 10) + 66$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$f (- 10) = 100 + 16 (- 10) + 66$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 10$ .

$f (- 10) = 100 - 160 + 66$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $160$ von $100$ .

$f (- 10) = - 60 + 66$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $- 60$ und $66$ .

$f (- 10) = 6$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 10$ ist $6$ .

$y = 6$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f (- 7) = {(- 7)}^{2} + 16 (- 7) + 66$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$f (- 7) = 49 + 16 (- 7) + 66$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 7$ .

$f (- 7) = 49 - 112 + 66$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere $112$ von $49$ .

$f (- 7) = - 63 + 66$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $- 63$ und $66$ .

$f (- 7) = 3$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 7$ ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = {(- 6)}^{2} + 16 (- 6) + 66$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f (- 6) = 36 + 16 (- 6) + 66$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 6$ .

$f (- 6) = 36 - 96 + 66$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.2.1

Subtrahiere $96$ von $36$ .

$f (- 6) = - 60 + 66$

Schritt 2.11.2.2

Addiere $- 60$ und $66$ .

$f (- 6) = 6$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = - 6$ ist $6$ .

$y = 6$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 6 \\ - 9 & 3 \\ - 8 & 2 \\ - 7 & 3 \\ - 6 & 6 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 8, 2)$

Brennpunkt: $(- 8, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 8$

Leitlinie: $y = \frac{7}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 6 \\ - 9 & 3 \\ - 8 & 2 \\ - 7 & 3 \\ - 6 & 6 \end{array}$

Schritt 4