Trigonometrie Beispiele

$y = - x^{2} + 17 x - 42$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} + 17 x - 42$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 17$

$c = - 42$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{17}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d = \frac{17}{- 2}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{17}{2}$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 42 - \frac{17^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Potenziere $17$ mit $2$ .

$e = - 42 - \frac{289}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 42 - \frac{289}{- 4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 42 - - \frac{289}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{289}{4}$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 42 + 1 (\frac{289}{4})$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{289}{4}$ mit $1$ .

$e = - 42 + \frac{289}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Um $- 42$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e = - 42 \cdot \frac{4}{4} + \frac{289}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.3

Kombiniere $- 42$ und $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 42 \cdot 4}{4} + \frac{289}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 42 \cdot 4 + 289}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 42$ mit $4$ .

$e = \frac{- 168 + 289}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.5.2

Addiere $- 168$ und $289$ .

$e = \frac{121}{4}$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - \frac{17}{2})}^{2} + \frac{121}{4}$ ein.

$- {(x - \frac{17}{2})}^{2} + \frac{121}{4}$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x - \frac{17}{2})}^{2} + \frac{121}{4}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = \frac{17}{2}$

$k = \frac{121}{4}$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{17}{2}, \frac{121}{4})$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{17}{2}, 30)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{17}{2}$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{61}{2}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{17}{2}, \frac{121}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{17}{2}, 30)$

Symmetrieachse: $x = \frac{17}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{61}{2}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{17}{2}, \frac{121}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{17}{2}, 30)$

Symmetrieachse: $x = \frac{17}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{61}{2}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = - {(7)}^{2} + 17 (7) - 42$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (7) = - 1 \cdot 49 + 17 (7) - 42$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$f (7) = - 49 + 17 (7) - 42$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $17$ mit $7$ .

$f (7) = - 49 + 119 - 42$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 49$ und $119$ .

$f (7) = 70 - 42$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $42$ von $70$ .

$f (7) = 28$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $28$ .

$28$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 7$ ist $28$ .

$y = 28$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = - {(6)}^{2} + 17 (6) - 42$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 17 (6) - 42$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$f (6) = - 36 + 17 (6) - 42$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $17$ mit $6$ .

$f (6) = - 36 + 102 - 42$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $- 36$ und $102$ .

$f (6) = 66 - 42$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $42$ von $66$ .

$f (6) = 24$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $24$ .

$24$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 6$ ist $24$ .

$y = 24$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = - {(9)}^{2} + 17 (9) - 42$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (9) = - 1 \cdot 81 + 17 (9) - 42$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$f (9) = - 81 + 17 (9) - 42$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $17$ mit $9$ .

$f (9) = - 81 + 153 - 42$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Addiere $- 81$ und $153$ .

$f (9) = 72 - 42$

Schritt 2.8.2.2

Subtrahiere $42$ von $72$ .

$f (9) = 30$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $30$ .

$30$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 9$ ist $30$ .

$y = 30$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f (10) = - {(10)}^{2} + 17 (10) - 42$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$f (10) = - 1 \cdot 100 + 17 (10) - 42$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$f (10) = - 100 + 17 (10) - 42$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $17$ mit $10$ .

$f (10) = - 100 + 170 - 42$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.2.1

Addiere $- 100$ und $170$ .

$f (10) = 70 - 42$

Schritt 2.11.2.2

Subtrahiere $42$ von $70$ .

$f (10) = 28$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $28$ .

$28$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 10$ ist $28$ .

$y = 28$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 & 24 \\ 7 & 28 \\ \frac{17}{2} & \frac{121}{4} \\ 9 & 30 \\ 10 & 28 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{17}{2}, \frac{121}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{17}{2}, 30)$

Symmetrieachse: $x = \frac{17}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{61}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 & 24 \\ 7 & 28 \\ \frac{17}{2} & \frac{121}{4} \\ 9 & 30 \\ 10 & 28 \end{array}$

Schritt 4