Trigonometrie Beispiele

$y = - x^{2} + 9 x + 14$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} + 9 x + 14$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 9$

$c = 14$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{9}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d = \frac{9}{- 2}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{9}{2}$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 14 - \frac{9^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$e = 14 - \frac{81}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 14 - \frac{81}{- 4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 14 - - \frac{81}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{81}{4}$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 14 + 1 (\frac{81}{4})$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{81}{4}$ mit $1$ .

$e = 14 + \frac{81}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Um $14$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e = 14 \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.3

Kombiniere $14$ und $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{14 \cdot 4}{4} + \frac{81}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{14 \cdot 4 + 81}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $14$ mit $4$ .

$e = \frac{56 + 81}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.5.2

Addiere $56$ und $81$ .

$e = \frac{137}{4}$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - \frac{9}{2})}^{2} + \frac{137}{4}$ ein.

$- {(x - \frac{9}{2})}^{2} + \frac{137}{4}$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x - \frac{9}{2})}^{2} + \frac{137}{4}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = \frac{9}{2}$

$k = \frac{137}{4}$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{9}{2}, 34)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{9}{2}$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{69}{2}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{9}{2}, 34)$

Symmetrieachse: $x = \frac{9}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{69}{2}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{9}{2}, 34)$

Symmetrieachse: $x = \frac{9}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{69}{2}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - {(3)}^{2} + 9 (3) + 14$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 9 (3) + 14$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (3) = - 9 + 9 (3) + 14$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f (3) = - 9 + 27 + 14$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 9$ und $27$ .

$f (3) = 18 + 14$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $18$ und $14$ .

$f (3) = 32$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $32$ .

$32$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $32$ .

$y = 32$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{2} + 9 (2) + 14$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 9 (2) + 14$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = - 4 + 9 (2) + 14$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f (2) = - 4 + 18 + 14$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $- 4$ und $18$ .

$f (2) = 14 + 14$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $14$ und $14$ .

$f (2) = 28$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $28$ .

$28$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $28$ .

$y = 28$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - {(5)}^{2} + 9 (5) + 14$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 9 (5) + 14$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f (5) = - 25 + 9 (5) + 14$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$f (5) = - 25 + 45 + 14$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.8.2.1

Addiere $- 25$ und $45$ .

$f (5) = 20 + 14$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $20$ und $14$ .

$f (5) = 34$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $34$ .

$34$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 5$ ist $34$ .

$y = 34$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = - {(6)}^{2} + 9 (6) + 14$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 9 (6) + 14$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$f (6) = - 36 + 9 (6) + 14$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$f (6) = - 36 + 54 + 14$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.11.2.1

Addiere $- 36$ und $54$ .

$f (6) = 18 + 14$

Schritt 2.11.2.2

Addiere $18$ und $14$ .

$f (6) = 32$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $32$ .

$32$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 6$ ist $32$ .

$y = 32$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 28 \\ 3 & 32 \\ \frac{9}{2} & \frac{137}{4} \\ 5 & 34 \\ 6 & 32 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{9}{2}, 34)$

Symmetrieachse: $x = \frac{9}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{69}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 28 \\ 3 & 32 \\ \frac{9}{2} & \frac{137}{4} \\ 5 & 34 \\ 6 & 32 \end{array}$

Schritt 4