Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{2}{5} \cdot {(x - 4)}^{2} - 3$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{2}{5}$

$h = 4$

$k = - 3$

Schritt 1.2

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, - 3)$

Schritt 1.4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{2}{5}}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{5}}$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{\frac{8}{5}}$

Schritt 1.4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{5}{8})$

Schritt 1.4.3.4

Mutltipliziere $\frac{5}{8}$ mit $1$ .

$\frac{5}{8}$

Schritt 1.5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, - \frac{19}{8})$

Schritt 1.6

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 4$

Schritt 1.7

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.7.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.7.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{29}{8}$

Schritt 1.8

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(4, - 3)$

Brennpunkt: $(4, - \frac{19}{8})$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = - \frac{29}{8}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(4, - 3)$

Brennpunkt: $(4, - \frac{19}{8})$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = - \frac{29}{8}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2}}{5} - \frac{16 (3)}{5} + \frac{17}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f (3) = \frac{18 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{18 - 48 + 17}{5}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Subtrahiere $48$ von $18$ .

$f (3) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $- 30$ und $17$ .

$f (3) = \frac{- 13}{5}$

Schritt 2.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (3) = - \frac{13}{5}$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2}}{5} - \frac{16 (2)}{5} + \frac{17}{5}$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1

Multipliziere $2$ mit ${(2)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit ${(2)}^{2}$ .

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Schritt 2.5.2.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Schritt 2.5.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (2) = \frac{2^{1 + 2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Schritt 2.5.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (2) = \frac{2^{3} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Schritt 2.5.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Schritt 2.5.2.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{8 - 32 + 17}{5}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.3.1

Subtrahiere $32$ von $8$ .

$f (2) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Schritt 2.5.3.2

Addiere $- 24$ und $17$ .

$f (2) = \frac{- 7}{5}$

Schritt 2.5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (2) = - \frac{7}{5}$

Schritt 2.5.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2}}{5} - \frac{16 (5)}{5} + \frac{17}{5}$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2} - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = \frac{2 \cdot 25 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Schritt 2.8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$f (5) = \frac{50 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Schritt 2.8.2.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$f (5) = \frac{50 - 80 + 17}{5}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.3.1

Subtrahiere $80$ von $50$ .

$f (5) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Schritt 2.8.3.2

Addiere $- 30$ und $17$ .

$f (5) = \frac{- 13}{5}$

Schritt 2.8.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (5) = - \frac{13}{5}$

Schritt 2.8.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 5$ ist $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2}}{5} - \frac{16 (6)}{5} + \frac{17}{5}$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = \frac{2 \cdot 36 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Schritt 2.11.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$f (6) = \frac{72 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Schritt 2.11.2.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $6$ .

$f (6) = \frac{72 - 96 + 17}{5}$

Schritt 2.11.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.3.1

Subtrahiere $96$ von $72$ .

$f (6) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Schritt 2.11.3.2

Addiere $- 24$ und $17$ .

$f (6) = \frac{- 7}{5}$

Schritt 2.11.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (6) = - \frac{7}{5}$

Schritt 2.11.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 6$ ist $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(4, - 3)$

Brennpunkt: $(4, - \frac{19}{8})$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = - \frac{29}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Schritt 4