Trigonometrie Beispiele

$y = 2 \csc (\frac{1}{3} x) - 1$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \csc (\frac{x}{3}) - 1$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \csc (b x + c) + d$ gleich $0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \csc (\frac{x}{3}) - 1$ auftreten.

$\frac{x}{3} = 0$

Schritt 1.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Kosekansfunktion $\frac{x}{3}$ gleich $2 π$ .

$\frac{x}{3} = 2 π$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π)$

Schritt 1.4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π)$

Schritt 1.4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (2 π)$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = 6 π$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = 2 \csc (\frac{x}{3}) - 1$ tritt auf bei $(0, 6 π)$ , wobei $0$ und $6 π$ vertikale Asymptoten sind.

$(0, 6 π)$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \csc (\frac{x}{3}) - 1$ treten auf bei $0$ , $6 π$ und jedem $3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = 3 π n$

Schritt 1.8

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \csc (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 2$

$b = \frac{1}{3}$

$c = 0$

$d = - 1$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $c s c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $2 \csc (\frac{x}{3})$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 4.1.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 π$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $- 1$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 4.2.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 π$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$6 π$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $0 \cdot 3$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

Phasenverschiebung: $0$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $6 π$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: $- 1$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = 3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $6 π$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: $- 1$

Schritt 8