Trigonometrie Beispiele

$y = 2 \csc (\frac{1}{2} x - \frac{3}{4} \cdot π)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \csc (\frac{x}{2} - \frac{3 π}{4})$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \csc (b x + c) + d$ gleich $0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \csc (\frac{x}{2} - \frac{3 π}{4})$ auftreten.

$\frac{x}{2} - \frac{3 π}{4} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $\frac{3 π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{3 π}{2 (2)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Kosekansfunktion $\frac{x}{2} - \frac{3 π}{4}$ gleich $2 π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{3 π}{4} = 2 π$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Addiere $\frac{3 π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.4.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.4.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4 + 3 π}{4}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{8 π + 3 π}{4}$

Schritt 1.4.1.5.2

Addiere $8 π$ und $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{11 π}{4}$

Schritt 1.4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{11 π}{4}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{11 π}{4}$

Schritt 1.4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{11 π}{4}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{11 π}{2 (2)}$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{11 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{11 π}{2}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = 2 \csc (\frac{x}{2} - \frac{3 π}{4})$ tritt auf bei $(\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{2})$ , wobei $\frac{3 π}{2}$ und $\frac{11 π}{2}$ vertikale Asymptoten sind.

$(\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{2})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \csc (\frac{x}{2} - \frac{3 π}{4})$ treten auf bei $\frac{3 π}{2}$ , $\frac{11 π}{2}$ und jedem $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Schritt 1.8

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \csc (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 2$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{3 π}{4}$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $c s c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $2 \csc (\frac{x}{2} - \frac{3 π}{4})$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 4.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{\frac{3 π}{4}}{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $\frac{3 π}{4} \cdot 2$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{3 π}{2 (2)} \cdot 2$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{3 π}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{3 π}{2}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $4 π$

Phasenverschiebung: $\frac{3 π}{2}$ ( $\frac{3 π}{2}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $4 π$

Phasenverschiebung: $\frac{3 π}{2}$ ( $\frac{3 π}{2}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8