Trigonometrie Beispiele

$y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ auftritt.

$5 x + \frac{5 π}{7} = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $\frac{5 π}{7}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - \frac{π}{2} - \frac{5 π}{7}$

Schritt 1.2.1.2

Um $- \frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$5 x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7}$

Schritt 1.2.1.3

Um $- \frac{5 π}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $14$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{2 \cdot 7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{14} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{5 π}{7}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{7 \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{14}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x = \frac{- π \cdot 7 - 5 π \cdot 2}{14}$

Schritt 1.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.6.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$5 x = \frac{- 7 π - 5 π \cdot 2}{14}$

Schritt 1.2.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$5 x = \frac{- 7 π - 10 π}{14}$

Schritt 1.2.1.6.3

Subtrahiere $10 π$ von $- 7 π$ .

$5 x = \frac{- 17 π}{14}$

Schritt 1.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 x = - \frac{17 π}{14}$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - \frac{17 π}{14}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - \frac{17 π}{14}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{17 π}{14}}{5}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{17 π}{14}}{5}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{17 π}{14}}{5}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{17 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.2.3.2

Multipliziere $- \frac{17 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{17 π}{14}$ .

$x = - \frac{17 π}{5 \cdot 14}$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $14$ .

$x = - \frac{17 π}{70}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Sekansfunktion $5 x + \frac{5 π}{7}$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$5 x + \frac{5 π}{7} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Subtrahiere $\frac{5 π}{7}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = \frac{3 π}{2} - \frac{5 π}{7}$

Schritt 1.4.1.2

Um $\frac{3 π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$5 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7}$

Schritt 1.4.1.3

Um $- \frac{5 π}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $14$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{2 \cdot 7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{14} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{5 π}{7}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{7 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{14}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x = \frac{3 π \cdot 7 - 5 π \cdot 2}{14}$

Schritt 1.4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.6.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$5 x = \frac{21 π - 5 π \cdot 2}{14}$

Schritt 1.4.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$5 x = \frac{21 π - 10 π}{14}$

Schritt 1.4.1.6.3

Subtrahiere $10 π$ von $21 π$ .

$5 x = \frac{11 π}{14}$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{11 π}{14}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{11 π}{14}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{11 π}{14}}{5}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{11 π}{14}}{5}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{14}}{5}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{11 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 1.4.2.3.2

Multipliziere $\frac{11 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 1.4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{11 π}{14}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{11 π}{14 \cdot 5}$

Schritt 1.4.2.3.2.2

Mutltipliziere $14$ mit $5$ .

$x = \frac{11 π}{70}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ tritt auf bei $(- \frac{17 π}{70}, \frac{11 π}{70})$ , wobei $- \frac{17 π}{70}$ und $\frac{11 π}{70}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{17 π}{70}, \frac{11 π}{70})$

Schritt 1.6

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ treten auf bei $- \frac{17 π}{70}$ , $\frac{11 π}{70}$ und jedem $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$

Schritt 1.8

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \sec (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 2$

$b = 5$

$c = - \frac{5 π}{7}$

$d = 1$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $s e c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $- 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7})$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $5$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Schritt 4.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $1$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $5$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Schritt 4.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$\frac{2 π}{5}$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- \frac{5 π}{7}}{5}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- \frac{5 π}{7} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 π}{7}$ in den Zähler.

Phasenverschiebung: $\frac{- 5 π}{7} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 π$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{5 (- π)}{7} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{5 (- π)}{7} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.4.4

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{- π}{7}$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{7}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{2 π}{5}$

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{7}$ ( $\frac{π}{7}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $1$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{2 π}{5}$

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{7}$ ( $\frac{π}{7}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $1$

Schritt 8