Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{1}{2} \cdot ((x - 5) (x + 2))$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{2} \cdot ((x - 5) (x + 2))$

Schritt 1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot ((x - 5) (x + 2))$ .

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Schritt 1.2.1

Multipliziere $(x - 5) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 2) - 5 (x + 2))$

Schritt 1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2))$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2)$

Schritt 1.2.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2)$

Schritt 1.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 x - 5 x - 10)$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $5 x$ von $2 x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 10)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (- 3 x) + \frac{1}{2} \cdot - 10$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 3 x) + \frac{1}{2} \cdot - 10$

Schritt 1.2.4.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (- 3 x)$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 10$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 10$

Schritt 1.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 5))$

Schritt 1.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 5)$

Schritt 1.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} - 5$

Schritt 1.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 x}{2} - 5$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 x}{2} - 5$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = - \frac{3}{2}$

$c = - 5$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Dividiere $2$ durch $2$ .

$d = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 2.1.1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 2.1.1.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.3.2.5

Mutltipliziere $- \frac{3}{2}$ mit $1$ .

$d = - \frac{3}{2}$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 5 - \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$e = - 5 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - 5 - \frac{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$e = - 5 - \frac{1 \frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = - 5 - \frac{1 \frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - 5 - \frac{1 (\frac{9}{4})}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$e = - 5 - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = - 5 - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{2}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = - 5 - \frac{\frac{9}{4}}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - 5 - (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Multipliziere $\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e = - 5 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = - 5 - \frac{9}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{8}{8} - \frac{9}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 8}{8} - \frac{9}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 5 \cdot 8 - 9}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$e = \frac{- 40 - 9}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $9$ von $- 40$ .

$e = \frac{- 49}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{49}{8}$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{49}{8}$ ein.

$\frac{1}{2} {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{49}{8}$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{49}{8}$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = \frac{3}{2}$

$k = - \frac{49}{8}$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{49}{8})$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 2.5.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{3}{2}, - \frac{45}{8})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{53}{8}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{49}{8})$

Brennpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{8})$

Symmetrieachse: $x = \frac{3}{2}$

Leitlinie: $y = - \frac{53}{8}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{49}{8})$

Brennpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{8})$

Symmetrieachse: $x = \frac{3}{2}$

Leitlinie: $y = - \frac{53}{8}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - \frac{3 (1)}{2} - 5$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = - 5 + \frac{{(1)}^{2} - 3 \cdot 1}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 5 + \frac{1 - 3 \cdot 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (1) = - 5 + \frac{1 - 3}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (1) = - 5 + \frac{- 2}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$f (1) = - 5 - 1$

Schritt 3.2.3.3

Subtrahiere $1$ von $- 5$ .

$f (1) = - 6$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - \frac{3 (0)}{2} - 5$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (0) = - 5 + \frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - 5 + \frac{0 - 3 \cdot 0}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (0) = - 5 + \frac{0 + 0}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = - 5 + \frac{0}{2}$

Schritt 3.5.3.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (0) = - 5 + 0$

Schritt 3.5.3.3

Addiere $- 5$ und $0$ .

$f (0) = - 5$

Schritt 3.5.4

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $- 5$ .

$y = - 5$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{2} - \frac{3 (3)}{2} - 5$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = - 5 + \frac{{(3)}^{2} - 3 \cdot 3}{2}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = - 5 + \frac{9 - 3 \cdot 3}{2}$

Schritt 3.8.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f (3) = - 5 + \frac{9 - 9}{2}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.3.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f (3) = - 5 + \frac{0}{2}$

Schritt 3.8.3.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (3) = - 5 + 0$

Schritt 3.8.3.3

Addiere $- 5$ und $0$ .

$f (3) = - 5$

Schritt 3.8.4

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $- 5$ .

$y = - 5$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - \frac{3 (4)}{2} - 5$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (4) = - 5 + \frac{{(4)}^{2} - 3 \cdot 4}{2}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = - 5 + \frac{16 - 3 \cdot 4}{2}$

Schritt 3.11.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f (4) = - 5 + \frac{16 - 12}{2}$

Schritt 3.11.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.3.1

Subtrahiere $12$ von $16$ .

$f (4) = - 5 + \frac{4}{2}$

Schritt 3.11.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f (4) = - 5 + 2$

Schritt 3.11.3.3

Addiere $- 5$ und $2$ .

$f (4) = - 3$

Schritt 3.11.4

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $- 3$ .

$y = - 3$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 6 \\ \frac{3}{2} & - \frac{49}{8} \\ 3 & - 5 \\ 4 & - 3 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{49}{8})$

Brennpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{8})$

Symmetrieachse: $x = \frac{3}{2}$

Leitlinie: $y = - \frac{53}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 6 \\ \frac{3}{2} & - \frac{49}{8} \\ 3 & - 5 \\ 4 & - 3 \end{array}$

Schritt 5