Trigonometrie Beispiele

$\sec (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ auftritt.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.1.2

Um $- \frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.1.3

Um $- \frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.2.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - 2 π}{6}$

Schritt 1.2.1.6.3

Subtrahiere $2 π$ von $- 3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 5 π}{6}$

Schritt 1.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{2} = - \frac{5 π}{6}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{6})$

Schritt 1.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{6})$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (- \frac{5 π}{6})$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{5 π}{6})$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 π}{6}$ in den Zähler.

$x = 2 \frac{- 5 π}{6}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 (3)}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 5 π}{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 π}{3}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Sekansfunktion $\frac{x}{2} + \frac{π}{3}$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.4.1.2

Um $\frac{3 π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.4.1.3

Um $- \frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.4.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - 2 π}{6}$

Schritt 1.4.1.6.3

Subtrahiere $2 π$ von $9 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{6}$

Schritt 1.4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{6}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{6}$

Schritt 1.4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{7 π}{6}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{7 π}{2 (3)}$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{7 π}{3}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ tritt auf bei $(- \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3})$ , wobei $- \frac{5 π}{3}$ und $\frac{7 π}{3}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ treten auf bei $- \frac{5 π}{3}$ , $\frac{7 π}{3}$ und jedem $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Schritt 1.8

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \sec (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = - \frac{π}{3}$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $s e c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 4.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- \frac{π}{3}}{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{3} \cdot 2$

Schritt 5.4

Multipliziere $- \frac{π}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

Phasenverschiebung: $- 2 \frac{π}{3}$

Schritt 5.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{π}{3}$ .

Phasenverschiebung: $\frac{- 2 π}{3}$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

Phasenverschiebung: $- \frac{2 π}{3}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $4 π$

Phasenverschiebung: $- \frac{2 π}{3}$ ( $\frac{2 π}{3}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $4 π$

Phasenverschiebung: $- \frac{2 π}{3}$ ( $\frac{2 π}{3}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8