Trigonometrie Beispiele

$y = 4 \csc (π x - \frac{π}{3})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 4 \csc (π x - \frac{π}{3})$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \csc (b x + c) + d$ gleich $0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für $y = 4 \csc (π x - \frac{π}{3})$ auftreten.

$π x - \frac{π}{3} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$π x = \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{3}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{3}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Kosekansfunktion $π x - \frac{π}{3}$ gleich $2 π$ .

$π x - \frac{π}{3} = 2 π$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$π x = 2 π + \frac{π}{3}$

Schritt 1.4.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π x = 2 π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 1.4.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{2 π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π x = \frac{2 π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$π x = \frac{6 π + π}{3}$

Schritt 1.4.1.5.2

Addiere $6 π$ und $π$ .

$π x = \frac{7 π}{3}$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{7 π}{3}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{7 π}{3}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{π}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{π}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{3}}{π}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.2.3.2.1

Faktorisiere $π$ aus $7 π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = 4 \csc (π x - \frac{π}{3})$ tritt auf bei $(\frac{1}{3}, \frac{7}{3})$ , wobei $\frac{1}{3}$ und $\frac{7}{3}$ vertikale Asymptoten sind.

$(\frac{1}{3}, \frac{7}{3})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 1.6.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 4 \csc (π x - \frac{π}{3})$ treten auf bei $\frac{1}{3}$ , $\frac{7}{3}$ und jedem $x = \frac{1}{3} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = \frac{1}{3} + n$

Schritt 1.8

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{1}{3} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{1}{3} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \csc (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 4$

$b = π$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $c s c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $4 \csc (π x - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 4.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 4.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{1}{3}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $2$

Phasenverschiebung: $\frac{1}{3}$ ( $\frac{1}{3}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{1}{3} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $2$

Phasenverschiebung: $\frac{1}{3}$ ( $\frac{1}{3}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8