Trigonometrie Beispiele

$y = \sec (π x - 1)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \sec (π x - 1)$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \sec (π x - 1)$ auftritt.

$π x - 1 = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$π x = - \frac{π}{2} + 1$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = - \frac{π}{2} + 1$ durch $π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = - \frac{π}{2} + 1$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1}{2} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Sekansfunktion $π x - 1$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$π x - 1 = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$π x = \frac{3 π}{2} + 1$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{3 π}{2} + 1$ durch $π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{3 π}{2} + 1$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2} + \frac{1}{π}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = \sec (π x - 1)$ tritt auf bei $(- \frac{1}{2} + \frac{1}{π}, \frac{3}{2} + \frac{1}{π})$ , wobei $- \frac{1}{2} + \frac{1}{π}$ und $\frac{3}{2} + \frac{1}{π}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{1}{2} + \frac{1}{π}, \frac{3}{2} + \frac{1}{π})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 1.6.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \sec (π x - 1)$ treten auf bei $- \frac{1}{2} + \frac{1}{π}$ , $\frac{3}{2} + \frac{1}{π}$ und jedem $x = - \frac{1}{2} + \frac{1}{π} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{1}{π} + n$

Schritt 1.8

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{1}{2} + \frac{1}{π} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{1}{2} + \frac{1}{π} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \sec (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 1$

$b = π$

$c = 1$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $s e c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $\sec (π x - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 4.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 4.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{1}{π}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $2$

Phasenverschiebung: $\frac{1}{π}$ ( $\frac{1}{π}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{1}{2} + \frac{1}{π} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $2$

Phasenverschiebung: $\frac{1}{π}$ ( $\frac{1}{π}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8