Trigonometrie Beispiele

y = \csc (3 x)

$y = \csc (3 x)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes

y = \csc (x)

$y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei

x = n π

$x = n π$ , wobei

n

$n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für

y = c s c (x)

$y = c s c (x)$ ,

(0, 2 π)

$(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für

y = \csc (3 x)

$y = \csc (3 x)$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion,

b x + c

$b x + c$ , für

y = a \csc (b x + c) + d

$y = a \csc (b x + c) + d$ gleich

0

$0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für

y = \csc (3 x)

$y = \csc (3 x)$ auftreten.

3 x = 0

$3 x = 0$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in

3 x = 0

$3 x = 0$ durch

3

$3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in

3 x = 0

$3 x = 0$ durch

3

$3$ .

\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{0}{3}

$x = \frac{0}{3}$

x = \frac{0}{3}

$x = \frac{0}{3}$

x = \frac{0}{3}

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Dividiere

0

$0$ durch

3

$3$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Kosekansfunktion

3 x

$3 x$ gleich

2 π

$2 π$ .

3 x = 2 π

$3 x = 2 π$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in

3 x = 2 π

$3 x = 2 π$ durch

3

$3$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Teile jeden Ausdruck in

3 x = 2 π

$3 x = 2 π$ durch

3

$3$ .

\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 1.4.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für

y = \csc (3 x)

$y = \csc (3 x)$ tritt auf bei

(0, \frac{2 π}{3})

$(0, \frac{2 π}{3})$ , wobei

0

$0$ und

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ vertikale Asymptoten sind.

(0, \frac{2 π}{3})

$(0, \frac{2 π}{3})$

Schritt 1.6

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

3

$3$ ist

3

$3$ .

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für

y = \csc (3 x)

$y = \csc (3 x)$ treten auf bei

0

$0$ ,

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ und jedem

\frac{π n}{3}

$\frac{π n}{3}$ , wobei

n

$n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

x = \frac{π n}{3}

$x = \frac{π n}{3}$

Schritt 1.8

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten:

x = \frac{π n}{3}

$x = \frac{π n}{3}$ , wobei

n

$n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten:

x = \frac{π n}{3}

$x = \frac{π n}{3}$ , wobei

n

$n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form

a \csc (b x - c) + d

$a \csc (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

a = 1

$a = 1$

b = 3

$b = 3$

c = 0

$c = 0$

d = 0

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion

c s c

$c s c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von

\csc (3 x)

$\csc (3 x)$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze

b

$b$ durch

3

$3$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 3 |}

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

3

$3$ ist

3

$3$ .

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung:

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von

c

$c$ und

b

$b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung:

\frac{0}{3}

$\frac{0}{3}$

Schritt 5.3

Dividiere

0

$0$ durch

3

$3$ .

Phasenverschiebung:

0

$0$

Phasenverschiebung:

0

$0$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode:

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten:

x = \frac{π n}{3}

$x = \frac{π n}{3}$ , wobei

n

$n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode:

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8