Trigonometrie Beispiele

$y = - 6 \sec (\frac{π}{3} x)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = - 6 \sec (\frac{π x}{3})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = - 6 \sec (\frac{π x}{3})$ auftritt.

$\frac{π x}{3} = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1.1

Vereinfache $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache $\frac{3}{π} (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{- 1}{2}$ .

$x = \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Sekansfunktion $\frac{π x}{3}$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{π x}{3} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1.1

Vereinfache $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Schritt 1.4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache $\frac{3}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (\frac{3}{2})$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{9}{2}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = - 6 \sec (\frac{π x}{3})$ tritt auf bei $(- \frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ , wobei $- \frac{3}{2}$ und $\frac{9}{2}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

$\frac{π}{3}$ ist ungefähr $1.04719755$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{3}{π}$

Schritt 1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.6.3.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Schritt 1.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Schritt 1.6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 3$

Schritt 1.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = - 6 \sec (\frac{π x}{3})$ treten auf bei $- \frac{3}{2}$ , $\frac{9}{2}$ und jedem $3 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = \frac{9}{2} + 3 n$

Schritt 1.8

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{9}{2} + 3 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{9}{2} + 3 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \sec (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 6$

$b = \frac{π}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $s e c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $- 6 \sec (\frac{π x}{3})$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Schritt 4.3

$\frac{π}{3}$ ist ungefähr $1.04719755$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{3}{π}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Schritt 4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 3$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{\frac{π}{3}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $0 (\frac{3}{π})$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{π}$ .

Phasenverschiebung: $0$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $6$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{9}{2} + 3 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $6$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8