Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 θ)$

Schritt 1

Eine gute Methode $\sin (2 θ)$ zu entwickeln, ist die Anwendung des Satzes von de Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Wenn $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Schritt 2

Multipliziere die rechte Seite der Gleichung $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ durch Anwenden des binomischen Lehrsatzes aus.

Multipliziere aus: ${(\cos (θ) + i \cdot \sin (θ))}^{2}$

Schritt 3

Schreibe ${(\cos (θ) + i \sin (θ))}^{2}$ als $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ um.

$(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Multipliziere $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Schritt 5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Schritt 5.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Schritt 5.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Schritt 5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $i \sin (θ) (i \sin (θ))$ .

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Schritt 5.1.3.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 5.1.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i^{1} \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 5.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1 + 1} \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 5.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin (θ) \sin (θ)$

Schritt 5.1.3.5

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ))$

Schritt 5.1.3.6

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))$

Schritt 5.1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Schritt 5.1.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin^{2} (θ)$

Schritt 5.1.4

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - 1 \sin^{2} (θ)$

Schritt 5.1.5

Schreibe $- 1 \sin^{2} (θ)$ als $- \sin^{2} (θ)$ um.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - \sin^{2} (θ)$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren von $i \sin (θ) \cos (θ)$ um.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

Schritt 5.3

Addiere $i \cos (θ) \sin (θ)$ und $i \cos (θ) \sin (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

Schritt 6

Bewege $- \sin^{2} (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

Schritt 7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Füge Klammern hinzu.

$\cos (2 θ) + 2 i (\cos (θ) \sin (θ))$

Schritt 8.2

Stelle $2 i$ und $\cos (θ) \sin (θ)$ um.

$\cos (2 θ) + \cos (θ) \sin (θ) (2 i)$

Schritt 8.3

Füge Klammern hinzu.

$\cos (2 θ) + \cos (θ) (\sin (θ) \cdot 2) i$

Schritt 8.4

Stelle $\cos (θ)$ und $\sin (θ) \cdot 2$ um.

$\cos (2 θ) + \sin (θ) \cdot 2 \cos (θ) i$

Schritt 8.5

Stelle $\sin (θ)$ und $2$ um.

$\cos (2 θ) + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ) i$

Schritt 8.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$

Schritt 9

Stelle die Faktoren in $\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$ um.

$\cos (2 θ) + i \sin (2 θ)$

Schritt 10

Ziehe die Ausdrücke mit dem imaginären Teil heraus, welche gleich $\sin (2 θ)$ sind. Entferne die imaginäre Zahl $i$ .

$\sin (2 θ) = 2 \sin (θ) \cos (θ)$