Trigonometrie Beispiele

\tan (\frac{13 π}{12})

$\tan (\frac{13 π}{12})$

Schritt 1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

\tan (\frac{π}{12})

$\tan (\frac{π}{12})$

Schritt 2

Teile

\frac{π}{12}

$\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

\tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})

$\tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 4

Der genau Wert von

\tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ ist

1

$1$ .

\frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 5

Der genau Wert von

\tan (\frac{π}{6})

$\tan (\frac{π}{6})$ ist

\frac{\sqrt{3}}{3}

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 6

Der genau Wert von

\tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ ist

1

$1$ .

\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 7

Der genau Wert von

\tan (\frac{π}{6})

$\tan (\frac{π}{6})$ ist

\frac{\sqrt{3}}{3}

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 8

Vereinfache

\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Schritt 8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by

3

$3$ .

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere

\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ mit

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 8.1.2

Kombinieren.

\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 8.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in

- \frac{\sqrt{3}}{3}

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 8.3.3

Forme den Ausdruck um.

\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere

3

$3$ mit

1

$1$ .

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

1

$1$ .

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 8.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 8.5.2.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$ heraus.

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 8.7

Mutltipliziere

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit

\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Schritt 8.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.9

Vereinfache.

\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.10.1

Potenziere

3 - \sqrt{3}

$3 - \sqrt{3}$ mit

1

$1$ .

\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.10.2

Potenziere

3 - \sqrt{3}

$3 - \sqrt{3}$ mit

1

$1$ .

\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Schritt 8.10.3

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 8.10.4

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Schritt 8.11

Schreibe

{(3 - \sqrt{3})}^{2}

${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ als

(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})

$(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ um.

\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.12

Multipliziere

(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})

$(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.13.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

3

$3$ .

\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.13.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

3

$3$ .

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.13.1.3

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 1

$- 1$ .

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.13.1.4

Multipliziere

- \sqrt{3} (- \sqrt{3})

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 8.13.1.4.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.13.1.4.2

Mutltipliziere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ mit

1

$1$ .

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.13.1.4.3

Potenziere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ mit

1

$1$ .

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.13.1.4.4

Potenziere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ mit

1

$1$ .

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Schritt 8.13.1.4.5

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 8.13.1.4.6

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Schritt 8.13.1.5

Schreibe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ als

3

$3$ um.

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Schritt 8.13.1.5.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ als

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 8.13.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 8.13.1.5.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 8.13.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 8.13.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 8.13.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Schritt 8.13.1.5.5

Berechne den Exponenten.

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 8.13.2

Addiere

9

$9$ und

3

$3$ .

\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.13.3

Subtrahiere

3 \sqrt{3}

$3 \sqrt{3}$ von

- 3 \sqrt{3}

$- 3 \sqrt{3}$ .

\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von

12 - 6 \sqrt{3}

$12 - 6 \sqrt{3}$ und

6

$6$ .

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Schritt 8.14.1

Faktorisiere

6

$6$ aus

12

$12$ heraus.

\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}

$\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.14.2

Faktorisiere

6

$6$ aus

- 6 \sqrt{3}

$- 6 \sqrt{3}$ heraus.

\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.14.3

Faktorisiere

6

$6$ aus

6 (2) + 6 (- \sqrt{3})

$6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ heraus.

\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.14.4.1

Faktorisiere

6

$6$ aus

6

$6$ heraus.

\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Schritt 8.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Schritt 8.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

\frac{2 - \sqrt{3}}{1}

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Schritt 8.14.4.4

Dividiere

2 - \sqrt{3}

$2 - \sqrt{3}$ durch

1

$1$ .

2 - \sqrt{3}

$2 - \sqrt{3}$

2 - \sqrt{3}

$2 - \sqrt{3}$

2 - \sqrt{3}

$2 - \sqrt{3}$

2 - \sqrt{3}

$2 - \sqrt{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

2 - \sqrt{3}

$2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

0.26794919 \dots

$0.26794919 \dots$