Trigonometrie Beispiele

$4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x + 16 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 y^{2} - 24 y$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (4)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 12}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$e = 0 - 36$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$e = - 36$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ ein.

$4 {(y - 3)}^{2} - 36$

Schritt 1.3

Setze $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ für $4 y^{2} - 24 y$ ein in der Gleichung $4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - 36 - x^{2} - 4 x = - 16$

Schritt 1.4

Bringe $- 36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

$4 {(y - 3)}^{2} - x^{2} - 4 x = - 16 + 36$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} - 4 x$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Schritt 1.5.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 2$ als $- - 2$ um.

$d = - - 2$

Schritt 1.5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$d = 2$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.6

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - - 4$

Schritt 1.5.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$e = 4$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 2)}^{2} + 4$ ein.

$- {(x + 2)}^{2} + 4$

Schritt 1.6

Setze $- {(x + 2)}^{2} + 4$ für $- x^{2} - 4 x$ ein in der Gleichung $4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} + 4 = - 16 + 36$

Schritt 1.7

Bringe $4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = - 16 + 36 - 4$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 16 + 36 - 4$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 16$ und $36$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = 20 - 4$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $4$ von $20$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = 16$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $16$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 {(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = 3$

$h = - 2$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 2, 3)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + 16}$

Schritt 5.3.3

Addiere $4$ und $16$ .

$\sqrt{20}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\sqrt{4 (5)}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{5}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, 5)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, 1)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(- 2, 5), (- 2, 1)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, 3 + 2 \sqrt{5})$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(- 2, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 16}}{2}$

Schritt 8.3.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$\frac{\sqrt{20}}{2}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{2}$

Schritt 8.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2}$

Schritt 8.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8.3.2.2

Dividiere $\sqrt{5}$ durch $1$ .

$\sqrt{5}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{5})}$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 9.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 9.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 9.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{8 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 9.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x + 2) + 3$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Schritt 11.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x}{2} + 1 + 3$

Schritt 11.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$y = \frac{x}{2} + 4$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x + 2) + 3$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Schritt 12.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 2 + 3$

Schritt 12.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 2 + 3$

Schritt 12.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x}{2} - 1 + 3$

Schritt 12.2.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{x}{2} + 4, y = - \frac{x}{2} + 2$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(- 2, 3)$

Scheitelpunkte: $(- 2, 5), (- 2, 1)$

Brennpunkte: $(- 2, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Exzentrizität: $\sqrt{5}$

Fokaler Parameter: $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Asymptoten: $y = \frac{x}{2} + 4$ , $y = - \frac{x}{2} + 2$

Schritt 15