Trigonometrie Beispiele

$- 0.25 \cos (1.5 t - \frac{π}{3})$

Schritt 1

Wende die Form $a \cos (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 0.25$

$b = 1.5$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $0.25$

Schritt 3

Ermittele die Periode von $- 0.25 \cos (1.5 x - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 3.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2

Ersetze $b$ durch $1.5$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1.5 |}$

Schritt 3.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1.5$ ist $1.5$ .

$\frac{2 π}{1.5}$

Schritt 3.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$\frac{2 \cdot 3.14159265}{1.5}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$\frac{6.2831853}{1.5}$

Schritt 3.6

Dividiere $6.2831853$ durch $1.5$ .

$4.1887902$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{\frac{π}{3}}{1.5}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{1.5}$

Schritt 4.4

Dividiere $1$ durch $1.5$ .

Phasenverschiebung: $\frac{π}{3} \cdot 0.\overline{6}$

Schritt 4.5

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot 0.\overline{6}$ .

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Schritt 4.5.1

Kombiniere $\frac{π}{3}$ und $0.\overline{6}$ .

Phasenverschiebung: $\frac{π \cdot 0.\overline{6}}{3}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $π$ mit $0.\overline{6}$ .

Phasenverschiebung: $\frac{2.0943951}{3}$

Schritt 4.6

Dividiere $2.0943951$ durch $3$ .

Phasenverschiebung: $0.6981317$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $0.25$

Periode: $4.1887902$

Phasenverschiebung: $0.6981317$ ( $0.6981317$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = 0.6981317$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.6981317$ .

$f (0.6981317) = - 0.25 \cos (1.5 (0.6981317) - \frac{π}{3})$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $1.5$ mit $0.6981317$ .

$f (0.6981317) = - 0.25 \cos (1.04719755 - \frac{π}{3})$

Schritt 6.1.2.2

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von $1.04719755$ .

$f (0.6981317) = - 0.25 \cos (0)$

Schritt 6.1.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

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Schritt 6.1.2.3.1

Schreibe $0$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$f (0.6981317) = - 0.25 \cos (\frac{0}{2})$

Schritt 6.1.2.3.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$f (0.6981317) = - 0.25 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (0)}{2}})$

Schritt 6.1.2.3.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im vierten Quadranten positiv ist.

$f (0.6981317) = - 0.25 \sqrt{\frac{1 + \cos (0)}{2}}$

Schritt 6.1.2.3.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0.6981317) = - 0.25 \sqrt{\frac{1 + 1}{2}}$

Schritt 6.1.2.3.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + 1}{2}}$ .

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Schritt 6.1.2.3.5.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f (0.6981317) = - 0.25 \sqrt{\frac{2}{2}}$

Schritt 6.1.2.3.5.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f (0.6981317) = - 0.25 \sqrt{1}$

Schritt 6.1.2.3.5.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (0.6981317) = - 0.25 \cdot 1$

Schritt 6.1.2.4

Mutltipliziere $- 0.25$ mit $1$ .

$f (0.6981317) = - 0.25$

Schritt 6.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 0.25$ .

$- 0.25$

Schritt 6.2

Bestimme den Punkt bei $x = 1.74532925$ .

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Schritt 6.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.74532925$ .

$f (1.74532925) = - 0.25 \cos (1.5 (1.74532925) - \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $1.5$ mit $1.74532925$ .

$f (1.74532925) = - 0.25 \cos (2.61799387 - \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von $2.61799387$ .

$f (1.74532925) = - 0.25 \cos (1.57079632)$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $- 0.25$ mit $\cos (1.57079632)$ .

$f (1.74532925) = 0$

Schritt 6.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.3

Bestimme den Punkt bei $x = 2.7925268$ .

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Schritt 6.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.7925268$ .

$f (2.7925268) = - 0.25 \cos (1.5 (2.7925268) - \frac{π}{3})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $1.5$ mit $2.7925268$ .

$f (2.7925268) = - 0.25 \cos (4.1887902 - \frac{π}{3})$

Schritt 6.3.2.2

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von $4.1887902$ .

$f (2.7925268) = - 0.25 \cos (3.14159265)$

Schritt 6.3.2.3

Mutltipliziere $- 0.25$ mit $\cos (3.14159265)$ .

$f (2.7925268) = 0.25$

Schritt 6.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.25$ .

$0.25$

Schritt 6.4

Bestimme den Punkt bei $x = 3.83972435$ .

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Schritt 6.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.83972435$ .

$f (3.83972435) = - 0.25 \cos (1.5 (3.83972435) - \frac{π}{3})$

Schritt 6.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $1.5$ mit $3.83972435$ .

$f (3.83972435) = - 0.25 \cos (5.75958653 - \frac{π}{3})$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von $5.75958653$ .

$f (3.83972435) = - 0.25 \cos (4.71238898)$

Schritt 6.4.2.3

Mutltipliziere $- 0.25$ mit $\cos (4.71238898)$ .

$f (3.83972435) = 0$

Schritt 6.4.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.5

Bestimme den Punkt bei $x = 4.8869219$ .

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Schritt 6.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.8869219$ .

$f (4.8869219) = - 0.25 \cos (1.5 (4.8869219) - \frac{π}{3})$

Schritt 6.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.5.2.1

Mutltipliziere $1.5$ mit $4.8869219$ .

$f (4.8869219) = - 0.25 \cos (7.33038285 - \frac{π}{3})$

Schritt 6.5.2.2

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von $7.33038285$ .

$f (4.8869219) = - 0.25 \cos (6.2831853)$

Schritt 6.5.2.3

Mutltipliziere $- 0.25$ mit $\cos (6.2831853)$ .

$f (4.8869219) = - 0.25$

Schritt 6.5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.25$ .

$- 0.25$

Schritt 6.6

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0.698 & - 0.25 \\ 1.745 & - 0 \\ 2.793 & 0.25 \\ 3.84 & 0 \\ 4.887 & - 0.25 \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $0.25$

Periode: $4.1887902$

Phasenverschiebung: $0.6981317$ ( $0.6981317$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0.698 & - 0.25 \\ 1.745 & - 0 \\ 2.793 & 0.25 \\ 3.84 & 0 \\ 4.887 & - 0.25 \end{array}$

Schritt 8