Trigonometrie Beispiele

$y^{2} - 4 y - x + 3 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y - x + 3 = - y^{2}$

Schritt 1.2

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x + 3 = - y^{2} + 4 y$

Schritt 1.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - y^{2} + 4 y - 3$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - y^{2} + 4 y - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - y^{2} + 4 y - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$x = y^{2} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (4 y) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (4 y)$ als $- (4 y)$ um.

$x = y^{2} - (4 y) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = y^{2} - 4 y + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.1.6

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = y^{2} - 4 y + 3$

Schritt 3

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 4 y + 3$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 3$

Schritt 3.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 3.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 3 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 3 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 3 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 3 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 3 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 3 - \frac{4}{1}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.1.6.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 3 - 1 \cdot 4$

Schritt 3.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 3 - 4$

Schritt 3.1.1.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$e = - 1$

Schritt 3.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 2)}^{2} - 1$ ein.

${(y - 2)}^{2} - 1$

Schritt 3.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = {(y - 2)}^{2} - 1$

Schritt 3.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - 1$

$k = 2$

Schritt 3.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 3.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, 2)$

Schritt 3.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 3.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 3.6

Ermittle den Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 3.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{3}{4}, 2)$

Schritt 3.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 2$

Schritt 3.8

Finde die Leitlinie.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 3.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{5}{4}$

Schritt 3.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 1, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{3}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{5}{4}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 1, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{3}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{5}{4}$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 (- (0) - 1)}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 (0 - 1)}$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{1}$

Schritt 4.1.2.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (0) = 2 + 1$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (0) = 3$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 4.1.3

Konvertiere $3$ nach Dezimal.

$= 3$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 (- (0) - 1)}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 (0 - 1)}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{1}$

Schritt 4.2.2.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (0) = 2 - 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (0) = 2 - 1$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (0) = 1$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 4.2.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$= 1$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 3.41421356)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 (- (1) - 1)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 (- 1 - 1)}$

Schritt 4.3.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{2}$

Schritt 4.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Schritt 4.3.3

Konvertiere $2 + \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 3.41421356$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 0.58578643)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 (- (1) - 1)}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 (- 1 - 1)}$

Schritt 4.4.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Schritt 4.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{2}$

Schritt 4.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Schritt 4.4.3

Konvertiere $2 - \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 0.58578643$

Schritt 4.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 1 \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 1, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{3}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 1 \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \end{array}$

Schritt 6