Trigonometrie Beispiele

$x^{2} + 25 y^{2} - 400 y + 1575 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $1575$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 25 y^{2} - 400 y = - 1575$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $25 y^{2} - 400 y$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 25$

$b = - 400$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 400}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 400$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 400$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 (25)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 200}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 200$ und $25$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $- 200$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 8}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 8$ durch $1$ .

$d = - 8$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 400)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 400$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{160000}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$e = 0 - \frac{160000}{100}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $160000$ durch $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 1600$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1600$ .

$e = 0 - 1600$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $1600$ von $0$ .

$e = - 1600$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $25 {(y - 8)}^{2} - 1600$ ein.

$25 {(y - 8)}^{2} - 1600$

Schritt 1.3

Setze $25 {(y - 8)}^{2} - 1600$ für $25 y^{2} - 400 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + 25 y^{2} - 400 y = - 1575$ .

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} - 1600 = - 1575$

Schritt 1.4

Bringe $- 1600$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1600$ auf beiden Seiten.

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} = - 1575 + 1600$

Schritt 1.5

Addiere $- 1575$ und $1600$ .

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} = 25$

Schritt 1.6

Teile jeden Term durch $25$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{25 {(y - 8)}^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{25} + {(y - 8)}^{2} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 5$

$b = 1$

$k = 8$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 8)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt{25 - 1}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $1$ von $25$ .

$\sqrt{24}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$\sqrt{4 (6)}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{6}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + 5, 8)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(5, 8)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (5), 8)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(- 5, 8)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + 2 \sqrt{6}, 8)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(2 \sqrt{6}, 8)$

Schritt 7.4

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (2 \sqrt{6}), 8)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(- 2 \sqrt{6}, 8)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 1}}{5}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1}}{5}$

Schritt 8.3.4

Subtrahiere $1$ von $25$ .

$\frac{\sqrt{24}}{5}$

Schritt 8.3.5

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 8.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{5}$

Schritt 8.3.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{5}$

Schritt 8.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

Exzentrizität: $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 10