Trigonometrie Beispiele

$x^{2} + 10 x - y + 29 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x - y + 29 = - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y + 29 = - x^{2} - 10 x$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $29$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = - x^{2} - 10 x - 29$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = - x^{2} - 10 x - 29$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - x^{2} - 10 x - 29$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x^{2}}{- 1} + \frac{- 10 x}{- 1} + \frac{- 29}{- 1}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- x^{2}}{- 1} + \frac{- 10 x}{- 1} + \frac{- 29}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 1} + \frac{- 10 x}{- 1} + \frac{- 29}{- 1}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- 10 x}{- 1} + \frac{- 29}{- 1}$

Schritt 1.2.3.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 10 x}{- 1} + \frac{- 29}{- 1}$

Schritt 1.2.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 10 x}{- 1}$ .

$y = x^{2} - 1 \cdot (- 10 x) + \frac{- 29}{- 1}$

Schritt 1.2.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (- 10 x)$ als $- (- 10 x)$ um.

$y = x^{2} - (- 10 x) + \frac{- 29}{- 1}$

Schritt 1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$y = x^{2} + 10 x + \frac{- 29}{- 1}$

Schritt 1.2.3.1.6

Dividiere $- 29$ durch $- 1$ .

$y = x^{2} + 10 x + 29$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 10 x + 29$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 10$

$c = 29$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$d = 5$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 29 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$e = 29 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 29 - \frac{100}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $100$ durch $4$ .

$e = 29 - 1 \cdot 25$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$e = 29 - 25$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Subtrahiere $25$ von $29$ .

$e = 4$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 5)}^{2} + 4$ ein.

${(x + 5)}^{2} + 4$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x + 5)}^{2} + 4$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - 5$

$k = 4$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 5, 4)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 5, \frac{17}{4})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 5$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{15}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 5, 4)$

Brennpunkt: $(- 5, \frac{17}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 5$

Leitlinie: $y = \frac{15}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 5, 4)$

Brennpunkt: $(- 5, \frac{17}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 5$

Leitlinie: $y = \frac{15}{4}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = {(- 6)}^{2} + 10 (- 6) + 29$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f (- 6) = 36 + 10 (- 6) + 29$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 6$ .

$f (- 6) = 36 - 60 + 29$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $60$ von $36$ .

$f (- 6) = - 24 + 29$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $- 24$ und $29$ .

$f (- 6) = 5$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 6$ ist $5$ .

$y = 5$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f (- 7) = {(- 7)}^{2} + 10 (- 7) + 29$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$f (- 7) = 49 + 10 (- 7) + 29$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 7$ .

$f (- 7) = 49 - 70 + 29$

Schritt 3.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $70$ von $49$ .

$f (- 7) = - 21 + 29$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $- 21$ und $29$ .

$f (- 7) = 8$

Schritt 3.5.3

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 7$ ist $8$ .

$y = 8$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 10 (- 4) + 29$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = 16 + 10 (- 4) + 29$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = 16 - 40 + 29$

Schritt 3.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.8.2.1

Subtrahiere $40$ von $16$ .

$f (- 4) = - 24 + 29$

Schritt 3.8.2.2

Addiere $- 24$ und $29$ .

$f (- 4) = 5$

Schritt 3.8.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 4$ ist $5$ .

$y = 5$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 10 (- 3) + 29$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = 9 + 10 (- 3) + 29$

Schritt 3.11.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 30 + 29$

Schritt 3.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.11.2.1

Subtrahiere $30$ von $9$ .

$f (- 3) = - 21 + 29$

Schritt 3.11.2.2

Addiere $- 21$ und $29$ .

$f (- 3) = 8$

Schritt 3.11.3

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $8$ .

$y = 8$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 8 \\ - 6 & 5 \\ - 5 & 4 \\ - 4 & 5 \\ - 3 & 8 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 5, 4)$

Brennpunkt: $(- 5, \frac{17}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 5$

Leitlinie: $y = \frac{15}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 8 \\ - 6 & 5 \\ - 5 & 4 \\ - 4 & 5 \\ - 3 & 8 \end{array}$

Schritt 5