Trigonometrie Beispiele

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 3$

$b = 2$

$k = 2$

$h = 3$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(3, 2)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + 4}$

Schritt 5.3.3

Addiere $9$ und $4$ .

$\sqrt{13}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, 5)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, - 1)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(3, 5), (3, - 1)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, 2 + \sqrt{13})$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, 2 - \sqrt{13})$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(3, 2 + \sqrt{13}), (3, 2 - \sqrt{13})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4}}{3}$

Schritt 8.3.3

Addiere $9$ und $4$ .

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{2^{2}}{\sqrt{13}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{13}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (3)) + 2$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (3)) + 2$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot (x - (3)) + 2$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 3) + 2$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 3 + 2$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 3 + 2$

Schritt 11.2.1.4

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 3$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{2} + 2$

Schritt 11.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2} + 2$

Schritt 11.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + 2$

Schritt 11.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9 + 4}{2}$

Schritt 11.2.5.2

Addiere $- 9$ und $4$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 11.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (3)) + 2$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{3}{2} \cdot (x - (3)) + 2$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 3) + 2$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 3 + 2$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 3 + 2$

Schritt 12.2.1.4

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot - 3$ .

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Schritt 12.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 3 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 12.2.1.4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3 \cdot 3}{2} + 2$

Schritt 12.2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{9}{2} + 2$

Schritt 12.2.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + 2$

Schritt 12.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9 + 4}{2}$

Schritt 12.2.5.2

Addiere $9$ und $4$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{13}{2}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{5}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + \frac{13}{2}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(3, 2)$

Scheitelpunkte: $(3, 5), (3, - 1)$

Brennpunkte: $(3, 2 + \sqrt{13}), (3, 2 - \sqrt{13})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Fokaler Parameter: $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

Asymptoten: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{5}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2} + \frac{13}{2}$

Schritt 15