Trigonometrie Beispiele

$5 x^{2} - 10 x = 9 - 5 y^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $5 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} - 10 x + 5 y^{2} = 9$

Schritt 1.2

Bewege $- 10 x$ .

$5 x^{2} + 5 y^{2} - 10 x = 9$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $5$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x = \frac{9}{5}$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 2 x$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 3.3.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 1)}^{2} - 1$ ein.

${(x - 1)}^{2} - 1$

Schritt 4

Setze ${(x - 1)}^{2} - 1$ für $x^{2} - 2 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 2 x = \frac{9}{5}$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 + y^{2} = \frac{9}{5}$

Schritt 5

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{9}{5} + 1$

Schritt 6

Vereinfache $\frac{9}{5} + 1$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{9}{5} + \frac{5}{5}$

Schritt 6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{9 + 5}{5}$

Schritt 6.3

Addiere $9$ und $5$ .

${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{14}{5}$

Schritt 7

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 8

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{\sqrt{70}}{5}$

$h = 1$

$k = 0$

Schritt 9

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(1, 0)$

Schritt 10

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(1, 0)$

Radius: $\frac{\sqrt{70}}{5}$

Schritt 11