Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \log_{3} (x - 3)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 3$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 3$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 4$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \log_{3} ((4) - 3)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (4) = \log_{3} (1)$

Schritt 2.2.2

Die logarithmische Basis $3$ von $1$ ist $0$ .

$f (4) = 0$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 6$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \log_{3} ((6) - 3)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$f (6) = \log_{3} (3)$

Schritt 3.2.2

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (6) = 1$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 3.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$y = 1$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 12$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $12$ .

$f (12) = \log_{3} ((12) - 3)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$f (12) = \log_{3} (9)$

Schritt 4.2.2

Die logarithmische Basis $3$ von $9$ ist $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{3} (9) = x$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe $\log_{3} (9) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 9$

Schritt 4.2.2.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{2}$

Schritt 4.2.2.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 2$

Schritt 4.2.2.5

Die Variable $x$ ist gleich $2$ .

$f (12) = 2$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 4.3

Konvertiere $2$ nach Dezimal.

$y = 2$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 3$ und den Punkten $(4, 0), (6, 1), (12, 2)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 6 & 1 \\ 12 & 2 \end{array}$

Schritt 6