Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \log_{3} (3 x)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$3 x = 0$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 0$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3)$

Schritt 2.2.2

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (1) = 1$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 2.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$y = 1$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \log_{3} (3 (3))$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = \log_{3} (9)$

Schritt 3.2.2

Die logarithmische Basis $3$ von $9$ ist $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{3} (9) = x$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $\log_{3} (9) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 9$

Schritt 3.2.2.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{2}$

Schritt 3.2.2.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 2$

Schritt 3.2.2.5

Die Variable $x$ ist gleich $2$ .

$f (3) = 2$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 3.3

Konvertiere $2$ nach Dezimal.

$y = 2$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = \log_{3} (3 (9))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (9) = \log_{3} (27)$

Schritt 4.2.2

Die logarithmische Basis $3$ von $27$ ist $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{3} (27) = x$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe $\log_{3} (27) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 27$

Schritt 4.2.2.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{3}$

Schritt 4.2.2.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 3$

Schritt 4.2.2.5

Die Variable $x$ ist gleich $3$ .

$f (9) = 3$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 4.3

Konvertiere $3$ nach Dezimal.

$y = 3$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 1), (3, 2), (9, 3)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 3 & 2 \\ 9 & 3 \end{array}$

Schritt 6