Trigonometrie Beispiele

$\frac{(\frac{41}{5 \sqrt{41}}) - (\frac{5}{4})}{1 + (\frac{41}{5 \sqrt{41}}) (\frac{5}{4})}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $20 \sqrt{41}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{41}{5 \sqrt{41}} - \frac{5}{4}}{1 + \frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4}}$ mit $\frac{20 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41}}$ .

$\frac{20 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41}} \cdot \frac{\frac{41}{5 \sqrt{41}} - \frac{5}{4}}{1 + \frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{20 \sqrt{41} (\frac{41}{5 \sqrt{41}} - \frac{5}{4})}{20 \sqrt{41} (1 + \frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20 \sqrt{41} \frac{41}{5 \sqrt{41}} + 20 \sqrt{41} (- \frac{5}{4})}{20 \sqrt{41} \cdot 1 + 20 \sqrt{41} (\frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 \sqrt{41}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $5 \sqrt{41}$ aus $20 \sqrt{41}$ heraus.

$\frac{5 \sqrt{41} (4) \frac{41}{5 \sqrt{41}} + 20 \sqrt{41} (- \frac{5}{4})}{20 \sqrt{41} \cdot 1 + 20 \sqrt{41} (\frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sqrt{41} \cdot 4 \frac{41}{5 \sqrt{41}} + 20 \sqrt{41} (- \frac{5}{4})}{20 \sqrt{41} \cdot 1 + 20 \sqrt{41} (\frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cdot 41 + 20 \sqrt{41} (- \frac{5}{4})}{20 \sqrt{41} \cdot 1 + 20 \sqrt{41} (\frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4})}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $41$ .

$\frac{164 + 20 \sqrt{41} (- \frac{5}{4})}{20 \sqrt{41} \cdot 1 + 20 \sqrt{41} (\frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4})}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$\frac{164 + 20 \sqrt{41} \frac{- 5}{4}}{20 \sqrt{41} \cdot 1 + 20 \sqrt{41} (\frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4})}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $4$ aus $20 \sqrt{41}$ heraus.

$\frac{164 + 4 (5 \sqrt{41}) \frac{- 5}{4}}{20 \sqrt{41} \cdot 1 + 20 \sqrt{41} (\frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4})}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{164 + 4 (5 \sqrt{41}) \frac{- 5}{4}}{20 \sqrt{41} \cdot 1 + 20 \sqrt{41} (\frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4})}$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{164 + 5 \sqrt{41} \cdot - 5}{20 \sqrt{41} \cdot 1 + 20 \sqrt{41} (\frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4})}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} \cdot 1 + 20 \sqrt{41} (\frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot \frac{5}{4})}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + 20 \sqrt{41} \frac{41}{5 \sqrt{41}} \frac{5}{4}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20 \sqrt{41} \frac{41}{5 \sqrt{41}}$ heraus.

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + 4 (5 \sqrt{41} \frac{41}{5 \sqrt{41}}) \frac{5}{4}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + 4 (5 \sqrt{41} \frac{41}{5 \sqrt{41}}) \frac{5}{4}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + 5 \sqrt{41} \frac{41}{5 \sqrt{41}} \cdot 5}$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{41}{5 \sqrt{41}}$ und $5$ .

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + \frac{41 \cdot 5}{5 \sqrt{41}} \sqrt{41} \cdot 5}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $41$ mit $5$ .

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + \frac{205}{5 \sqrt{41}} \sqrt{41} \cdot 5}$

Schritt 4.5

Kombiniere $\frac{205}{5 \sqrt{41}}$ und $\sqrt{41}$ .

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + \frac{205 \sqrt{41}}{5 \sqrt{41}} \cdot 5}$

Schritt 4.6

Kombiniere $\frac{205 \sqrt{41}}{5 \sqrt{41}}$ und $5$ .

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + \frac{205 \sqrt{41} \cdot 5}{5 \sqrt{41}}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $5$ mit $205$ .

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + \frac{1025 \sqrt{41}}{5 \sqrt{41}}}$

Schritt 4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1025$ und $5$ .

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $5$ aus $1025 \sqrt{41}$ heraus.

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + \frac{5 (205 \sqrt{41})}{5 \sqrt{41}}}$

Schritt 4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{41}$ heraus.

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + \frac{5 (205 \sqrt{41})}{5 (\sqrt{41})}}$

Schritt 4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + \frac{5 (205 \sqrt{41})}{5 \sqrt{41}}}$

Schritt 4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + \frac{205 \sqrt{41}}{\sqrt{41}}}$

Schritt 4.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{41}$ .

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Schritt 4.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + \frac{205 \sqrt{41}}{\sqrt{41}}}$

Schritt 4.9.2

Dividiere $205$ durch $1$ .

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + 205}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + 205}$ mit $\frac{20 \sqrt{41} - 205}{20 \sqrt{41} - 205}$ .

$\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + 205} \cdot \frac{20 \sqrt{41} - 205}{20 \sqrt{41} - 205}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{164 - 25 \sqrt{41}}{20 \sqrt{41} + 205}$ mit $\frac{20 \sqrt{41} - 205}{20 \sqrt{41} - 205}$ .

$\frac{(164 - 25 \sqrt{41}) (20 \sqrt{41} - 205)}{(20 \sqrt{41} + 205) (20 \sqrt{41} - 205)}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(164 - 25 \sqrt{41}) (20 \sqrt{41} - 205)}{400 {\sqrt{41}}^{2} - 4100 \sqrt{41} + 4100 \sqrt{41} - 42025}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$\frac{(164 - 25 \sqrt{41}) (20 \sqrt{41} - 205)}{- 25625}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20 \sqrt{41} - 205$ und $- 25625$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $5$ aus $(164 - 25 \sqrt{41}) (20 \sqrt{41} - 205)$ heraus.

$\frac{5 ((164 - 25 \sqrt{41}) (4 \sqrt{41} - 41))}{- 25625}$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 25625$ heraus.

$\frac{5 ((164 - 25 \sqrt{41}) (4 \sqrt{41} - 41))}{5 (- 5125)}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 ((164 - 25 \sqrt{41}) (4 \sqrt{41} - 41))}{5 \cdot - 5125}$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(164 - 25 \sqrt{41}) (4 \sqrt{41} - 41)}{- 5125}$

Schritt 7

Multipliziere $(164 - 25 \sqrt{41}) (4 \sqrt{41} - 41)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{164 (4 \sqrt{41} - 41) - 25 \sqrt{41} (4 \sqrt{41} - 41)}{- 5125}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{164 (4 \sqrt{41}) + 164 \cdot - 41 - 25 \sqrt{41} (4 \sqrt{41} - 41)}{- 5125}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{164 (4 \sqrt{41}) + 164 \cdot - 41 - 25 \sqrt{41} (4 \sqrt{41}) - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $164$ .

$\frac{656 \sqrt{41} + 164 \cdot - 41 - 25 \sqrt{41} (4 \sqrt{41}) - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $164$ mit $- 41$ .

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 25 \sqrt{41} (4 \sqrt{41}) - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.3

Multipliziere $- 25 \sqrt{41} (4 \sqrt{41})$ .

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Schritt 8.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 100 \sqrt{41} \sqrt{41} - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.3.2

Potenziere $\sqrt{41}$ mit $1$ .

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 100 ({\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}) - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.3.3

Potenziere $\sqrt{41}$ mit $1$ .

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 100 ({\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}) - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 100 {\sqrt{41}}^{1 + 1} - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 100 {\sqrt{41}}^{2} - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.4

Schreibe ${\sqrt{41}}^{2}$ als $41$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{41}$ als $41^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 100 {(41^{\frac{1}{2}})}^{2} - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 100 \cdot 41^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 100 \cdot 41^{\frac{2}{2}} - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 100 \cdot 41^{\frac{2}{2}} - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 100 \cdot 41^{1} - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 100 \cdot 41 - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $- 100$ mit $41$ .

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 4100 - 25 \sqrt{41} \cdot - 41}{- 5125}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $- 41$ mit $- 25$ .

$\frac{656 \sqrt{41} - 6724 - 4100 + 1025 \sqrt{41}}{- 5125}$

Schritt 8.2

Addiere $656 \sqrt{41}$ und $1025 \sqrt{41}$ .

$\frac{- 6724 - 4100 + 1681 \sqrt{41}}{- 5125}$

Schritt 8.3

Subtrahiere $4100$ von $- 6724$ .

$\frac{- 10824 + 1681 \sqrt{41}}{- 5125}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10824 + 1681 \sqrt{41}$ und $- 5125$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $41$ aus $- 10824$ heraus.

$\frac{41 (- 264) + 1681 \sqrt{41}}{- 5125}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $41$ aus $1681 \sqrt{41}$ heraus.

$\frac{41 (- 264) + 41 (41 \sqrt{41})}{- 5125}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $41$ aus $41 (- 264) + 41 (41 \sqrt{41})$ heraus.

$\frac{41 (- 264 + 41 \sqrt{41})}{- 5125}$

Schritt 9.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $41$ aus $- 5125$ heraus.

$\frac{41 (- 264 + 41 \sqrt{41})}{41 \cdot - 125}$

Schritt 9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{41 (- 264 + 41 \sqrt{41})}{41 \cdot - 125}$

Schritt 9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 264 + 41 \sqrt{41}}{- 125}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{- 264 + 41 \sqrt{41}}{125}$

Schritt 11

Schreibe $- 264$ als $- 1 (264)$ um.

$- \frac{- 1 (264) + 41 \sqrt{41}}{125}$

Schritt 12

Faktorisiere $- 1$ aus $41 \sqrt{41}$ heraus.

$- \frac{- 1 (264) - (- 41 \sqrt{41})}{125}$

Schritt 13

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (264) - (- 41 \sqrt{41})$ heraus.

$- \frac{- 1 (264 - 41 \sqrt{41})}{125}$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{264 - 41 \sqrt{41}}{125}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{264 - 41 \sqrt{41}}{125}$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $\frac{264 - 41 \sqrt{41}}{125}$ mit $1$ .

$\frac{264 - 41 \sqrt{41}}{125}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{264 - 41 \sqrt{41}}{125}$

Dezimalform:

$0.01177525 \dots$