Trigonometrie Beispiele

Löse das Dreieck a=8 , c=13 , B=150
, ,
Schritt 1
Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.
Schritt 2
Löse die Gleichung.
Schritt 3
Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.
Schritt 4
Vereinfache die Ergebnisse.
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Schritt 4.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3
Multipliziere .
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Schritt 4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.4
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 4.5
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.6.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 4.6.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.6.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.6.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.7
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 4.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.7.2
Addiere und .
Schritt 5
Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.
Schritt 6
Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um zu bestimmen.
Schritt 7
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 7.1
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit .
Schritt 7.2
Vereinfache beide Seiten der Gleichung.
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Schritt 7.2.1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 7.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 7.2.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 7.2.2.1
Vereinfache .
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Schritt 7.2.2.1.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 7.2.2.1.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 7.2.2.1.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.2.2.1.2
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 7.2.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 7.2.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.2.2.1.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.2.2.1.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.2.1.4.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.2.2.1.5
Kombiniere und .
Schritt 7.3
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 7.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 7.4.1
Berechne .
Schritt 7.5
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 7.6
Subtrahiere von .
Schritt 7.7
Die Lösung der Gleichung .
Schritt 7.8
Schließe den ungültigen Winkel aus.
Schritt 8
Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist Grad.
Schritt 9
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 9.1
Addiere und .
Schritt 9.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 9.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 9.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 10
Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.