Trigonometrie Beispiele

$a = 4$ , $b = 10$ , $c = 7$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(10)}^{2} + {(7)}^{2} - {(4)}^{2}}{2 (10) (7)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 7^{2} - 4^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 49 - 4^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 49 - 1 \cdot 16}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 49 - 16}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 4.1.5

Addiere $100$ und $49$ .

$A = \arccos (\frac{149 - 16}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $16$ von $149$ .

$A = \arccos (\frac{133}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$A = \arccos (\frac{133}{20 \cdot 7})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $7$ .

$A = \arccos (\frac{133}{140})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $133$ und $140$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $7$ aus $133$ heraus.

$A = \arccos (\frac{7 (19)}{140})$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $7$ aus $140$ heraus.

$A = \arccos (\frac{7 \cdot 19}{7 \cdot 20})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{7 \cdot 19}{7 \cdot 20})$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{19}{20})$

Schritt 4.4

Berechne $\arccos (\frac{19}{20})$ .

$A = 18.19487233$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(4)}^{2} + {(7)}^{2} - {(10)}^{2}}{2 (4) (7)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 7^{2} - 10^{2}}{2 (4) \cdot 7})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 49 - 10^{2}}{2 (4) \cdot 7})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 49 - 1 \cdot 100}{2 (4) \cdot 7})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 49 - 100}{2 (4) \cdot 7})$

Schritt 8.1.5

Addiere $16$ und $49$ .

$B = \arccos (\frac{65 - 100}{2 (4) \cdot 7})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $100$ von $65$ .

$B = \arccos (\frac{- 35}{2 (4) \cdot 7})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$B = \arccos (\frac{- 35}{8 \cdot 7})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$B = \arccos (\frac{- 35}{56})$

Schritt 8.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 35$ und $56$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $7$ aus $- 35$ heraus.

$B = \arccos (\frac{7 (- 5)}{56})$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Faktorisiere $7$ aus $56$ heraus.

$B = \arccos (\frac{7 \cdot - 5}{7 \cdot 8})$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{7 \cdot - 5}{7 \cdot 8})$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{- 5}{8})$

Schritt 8.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = \arccos (- \frac{5}{8})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (- \frac{5}{8})$ .

$B = 128.68218745$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$18.19487233 + C + 128.68218745 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $18.19487233$ und $128.68218745$ .

$C + 146.87705979 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $146.87705979$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 146.87705979$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $146.87705979$ von $180$ .

$C = 33.1229402$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 18.19487233$

$B = 128.68218745$

$C = 33.1229402$

$a = 4$

$b = 10$

$c = 7$