Trigonometrie Beispiele

$A = 45$ , $B = 52$ , $a = 15$

Schritt 1

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $b$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (52)}{b} = \frac{\sin (45)}{15}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $b$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Berechne $\sin (52)$ .

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sin (45)}{15}$

Schritt 3.1.2

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{15}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{15}$ .

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 15}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$b, 30$

Schritt 3.2.2

Since $b, 30$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 30$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Schritt 3.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.2.5

Die Primfaktoren von $30$ sind $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

$30$ hat Faktoren von $2$ und $15$ .

$2 \cdot 15$

Schritt 3.2.5.2

$15$ hat Faktoren von $3$ und $5$ .

$2 \cdot 3 \cdot 5$

Schritt 3.2.6

Multipliziere $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 \cdot 5$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$30$

Schritt 3.2.7

Der Teiler von $b^{1}$ ist $b$ selbst.

$b^{1} = b$

$b$ occurs $1$ time.

Schritt 3.2.8

Das kgV von $b^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$b$

Schritt 3.2.9

Das kgV von $b, 30$ ist der numerische Teil $30$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$30 b$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ mit $30 b$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ mit $30 b$ .

$\frac{0.78801075}{b} (30 b) = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$30 \frac{0.78801075}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Schritt 3.3.2.2

Multipliziere $30 \frac{0.78801075}{b}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Kombiniere $30$ und $\frac{0.78801075}{b}$ .

$\frac{30 \cdot 0.78801075}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $30$ mit $0.78801075$ .

$\frac{23.6403226}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{23.6403226}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Schritt 3.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$23.6403226 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $30$ aus $30 b$ heraus.

$23.6403226 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 (b))$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$23.6403226 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Schritt 3.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$23.6403226 = \sqrt{2} b$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2} b = 23.6403226$ um.

$\sqrt{2} b = 23.6403226$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} b = 23.6403226$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} b = 23.6403226$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.4.2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4.2.3.3

Mutltipliziere $23.6403226$ mit $\sqrt{2}$ .

$b = \frac{33.43246485}{2}$

Schritt 3.4.2.3.4

Dividiere $33.43246485$ durch $2$ .

$b = 16.71623242$

Schritt 4

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$45 + C + 52 = 180$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Addiere $45$ und $52$ .

$C + 97 = 180$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Subtrahiere $97$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 97$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $97$ von $180$ .

$C = 83$

Schritt 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $c$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (83)}{c} = \frac{\sin (45)}{15}$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $c$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Faktorisiere jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Berechne $\sin (83)$ .

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sin (45)}{15}$

Schritt 8.1.2

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{15}$

Schritt 8.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$

Schritt 8.1.4

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{15}$ .

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 15}$

Schritt 8.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{30}$

Schritt 8.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$c, 30$

Schritt 8.2.2

Since $c, 30$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 30$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Schritt 8.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 8.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 8.2.5

Die Primfaktoren von $30$ sind $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.5.1

$30$ hat Faktoren von $2$ und $15$ .

$2 \cdot 15$

Schritt 8.2.5.2

$15$ hat Faktoren von $3$ und $5$ .

$2 \cdot 3 \cdot 5$

Schritt 8.2.6

Multipliziere $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 \cdot 5$

Schritt 8.2.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$30$

Schritt 8.2.7

Der Teiler von $c^{1}$ ist $c$ selbst.

$c^{1} = c$

$c$ occurs $1$ time.

Schritt 8.2.8

Das kgV von $c^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$c$

Schritt 8.2.9

Das kgV von $c, 30$ ist der numerische Teil $30$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$30 c$

Schritt 8.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ mit $30 c$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ mit $30 c$ .

$\frac{0.99254615}{c} (30 c) = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$30 \frac{0.99254615}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Schritt 8.3.2.2

Multipliziere $30 \frac{0.99254615}{c}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.2.1

Kombiniere $30$ und $\frac{0.99254615}{c}$ .

$\frac{30 \cdot 0.99254615}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Schritt 8.3.2.2.2

Mutltipliziere $30$ mit $0.99254615$ .

$\frac{29.77638454}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Schritt 8.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{29.77638454}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Schritt 8.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$29.77638454 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Schritt 8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.1.1

Faktorisiere $30$ aus $30 c$ heraus.

$29.77638454 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 (c))$

Schritt 8.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$29.77638454 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Schritt 8.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$29.77638454 = \sqrt{2} c$

Schritt 8.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2} c = 29.77638454$ um.

$\sqrt{2} c = 29.77638454$

Schritt 8.4.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} c = 29.77638454$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} c = 29.77638454$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} c}{\sqrt{2}} = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} c}{\sqrt{2}} = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 8.4.2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.4.2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.4.2.3.3

Mutltipliziere $29.77638454$ mit $\sqrt{2}$ .

$c = \frac{42.11016686}{2}$

Schritt 8.4.2.3.4

Dividiere $42.11016686$ durch $2$ .

$c = 21.05508343$

Schritt 9

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 45$

$B = 52$

$C = 83$

$a = 15$

$b = 16.71623242$

$c = 21.05508343$