Trigonometrie Beispiele

$(\sqrt{6}, - \sqrt{2})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\sqrt{6}, - \sqrt{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\sqrt{6}, 0)$ und $(\sqrt{6}, - \sqrt{2})$ .

Gegenüberliegend : $- \sqrt{2}$

Ankathete : $\sqrt{6}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{6^{1} + {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{6 + {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{6 + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{6 + 1 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{6 + {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{6 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{6 + 2^{1}}$

Schritt 2.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{6 + 2}$

Schritt 2.4

Addiere $6$ und $2$ .

$\sqrt{8}$

Schritt 2.5

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{4 (2)}$

Schritt 2.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Vereinige $\sqrt{6}$ und $\sqrt{2}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{\frac{6}{2}}}{2}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{2}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3}{1}}}{2}$

Schritt 4.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660254$