Trigonometrie Beispiele

$(- \frac{1}{5}, \frac{1}{2})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- \frac{1}{5}, \frac{1}{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- \frac{1}{5}, 0)$ und $(- \frac{1}{5}, \frac{1}{2})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{1}{2}$

Ankathete : $- \frac{1}{5}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{5}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{1^{2}}{5^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{5^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 2.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1}{4}}$

Schritt 2.9

Um $\frac{1}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Schritt 2.10

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{25}}$

Schritt 2.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $100$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{25}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{25 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{25}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{100} + \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{25}}$

Schritt 2.11.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{4}{100} + \frac{25}{4 \cdot 25}}$

Schritt 2.11.4

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$\sqrt{\frac{4}{100} + \frac{25}{100}}$

Schritt 2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 + 25}{100}}$

Schritt 2.13

Addiere $4$ und $25$ .

$\sqrt{\frac{29}{100}}$

Schritt 2.14

Schreibe $\sqrt{\frac{29}{100}}$ als $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{100}}$ um.

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{100}}$

Schritt 2.15

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.15.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{10^{2}}}$

Schritt 2.15.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{29}}{10}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{- \frac{1}{5}}{\frac{\sqrt{29}}{10}}$ .

$\frac{- \frac{1}{5}}{\frac{\sqrt{29}}{10}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = - \frac{1}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{29}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{29}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 (2)}{\sqrt{29}}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{29}}$

Schritt 4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{2}{\sqrt{29}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}})$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe ${\sqrt{29}}^{2}$ als $29$ um.

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Schritt 4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{29}$ als $29^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29}$

Schritt 4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29} \approx - 0.37139067$