Trigonometrie Beispiele

$(\frac{- \sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{- \sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{- \sqrt{3}}{2}, 0)$ und $(\frac{- \sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{1}{2}$

Ankathete : $\frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 2.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}$

Schritt 2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3 + 1}{4}}$

Schritt 2.12

Addiere $3$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{4}{4}}$

Schritt 2.13

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.14

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\frac{- \sqrt{3}}{2}}{1}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{3}}{2}}{1}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Dividiere $\frac{- \sqrt{3}}{2}$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx - 0.8660254$